Temos uma família de séries de potências e precisamos determinar para cada uma o raio de convergência e o intervalo de convergência. Vamos usar principalmente o teste da razão e o teste da raiz, além de checar o comportamento nos pontos extremos.
Passo 2
O teste da razão diz que, para uma série , se , então o raio de convergência é (se ). O teste da raiz diz que, se , então . Depois de achar , testamos convergência nos pontos .
Passo 3
Para (a) : aplicando o teste da razão,
logo R=1. Agora nos extremos:
em x=1: série sum(-1)^n/(n+1) converge por critério de Leibniz;
em x=-1: série sum1/(n+1) diverge (harmônica).
Então o intervalo é (-1,1].
Passo 4
Para (b) sumn=1^infty(-1)^nx^nn^2: pelo teste da raiz,|an|^1/n=(1/n^2)^1/nto1,de modo que R=1. Nos extremos:
em x=1: sum(-1)^n/n^2 converge absolutamente;
em x=-1: sum1/n^2 converge. Logo [-1,1].