Enontre o raio e o intervalo de convergência da série:
(a) sumn=0^infty(-1)^n x^nn+1 (b) sumn=1^infty(-1)^n x^nn^2
© sumn=1^infty n^n x^n (d) sumn=1^infty x^n5^n n^5
(e) sumn=0^infty(-1)^n x^2 n+1(2 n+1)!(f) sumn=1^infty(3 n+25 n+7)^n x^n
(g) sumn=0^infty(-1)^n (x-3)^n2 n+1 (h) sumn=0^infty(-1)^n x^n1 cdot 3 cdot 5 cdots cdot(2 n-1)

Passo 1

Temos uma família de séries de potências e precisamos determinar para cada uma o raio de convergência e o intervalo de convergência. Vamos usar principalmente o teste da razão e o teste da raiz, além de checar o comportamento nos pontos extremos.

Passo 2

O teste da razão diz que, para uma série sum an x^n, se L=limntoinfty |an+1/an|, então o raio de convergência é R=1/L (se L>0). O teste da raiz diz que, se L'=limntoinfty |an|^1/n, então R=1/L'. Depois de achar R, testamos convergência nos pontos x=pm R.

Passo 3

Para (a) sumn=0^infty(-1)^nx^nn+1: aplicando o teste da razão,
|an+1an|=1/(n+2)1/(n+1)=n+1n+2to1,
logo R=1. Agora nos extremos:
em x=1: série sum(-1)^n/(n+1) converge por critério de Leibniz;
em x=-1: série sum1/(n+1) diverge (harmônica).
Então o intervalo é (-1,1].

Passo 4

Para (b) sumn=1^infty(-1)^nx^nn^2: pelo teste da raiz, |an|^1/n=(1/n^2)^1/nto1,de modo que R=1. Nos extremos:
em x=1: sum(-1)^n/n^2 converge absolutamente;
em x=-1: sum1/n^2 converge. Logo [-1,1].

Passo 5

Para © sumn=1^infty n^n x^n:
pelo teste da raiz,
|an|^1/n=n|x|toinfty (se xneq0),
logo R=0 e só converge em x=0.

Passo 6

Para (d) sumn=1^inftyx^n5^n n^5:
teste da raiz dá
|an|^1/n=(|x|/5)(1/n^5)^1/nto|x|/5,portanto R=5. Nos extremos:
em x=5 e x=-5 a série vira sum1/n^5 ou sum(-1)^n/n^5, ambas convergem. Assim [-5,5].

Passo 7

Para (e) sumn=0^infty(-1)^nx^2n+1(2n+1)!:
pelo crescimento fatorial, o teste da raiz dá R=infty. Logo convergência em todo R.

Passo 8

Para (f) sumn=1^inftyl(tfrac3n+25n+7r)^n x^n:
teste da raiz dá
|an|^1/ntotfrac35|x|,então R=5/3. Nos extremos x=pm5/3 o termo geral não tende a zero, diverge. Assim (-5/3,5/3).

Passo 9

Para (g) sumn=0^infty(-1)^n(x-3)^n2n+1:
teste da raiz dá
|an|^1/nto|x-3|,logo R=1. Em x-3=1 ( x=4) temos convergência alternada;
em x-3=-1 ( x=2) diverge tipo 1/(2n+1). Então (2,4].

Passo 10

Para (h) sumn=0^infty(-1)^nx^n1cdot3cdot5cdots(2n-1):
usando assíntota de duplo fatorial e o teste da raiz, encontra-se R=infty. Converge para todo x.

Resposta

(a) R=1, intervalo (-1,1]. (b) R=1, intervalo [-1,1]. © R=0, converge só em {0}. (d) R=5, intervalo [-5,5]. (e) R=∞, intervalo (-∞,∞). (f) R=5/3, intervalo (-5/3,5/3). (g) R=1, intervalo (2,4]. (h) R=∞, intervalo (-∞,∞).

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