Nos exercícios abaixo, verifique se a série: (a) converge absolutamente; (b) converge condicionalmente.
92) sumk=1^infty (-1)^k+1 k ! 6^k

Passo 1

O enunciado pede para estudar a série alternada sumk=1^infty (-1)^k+1 k!6^k, verificando primeiro se ela converge absolutamente e depois se ela converge condicionalmente. Vamos usar o teste da razão para a parte absoluta e o teste do termo geral (limite não nulo) para a parte condicional.

Passo 2

Para verificar a convergência absoluta, consideramos a série de termos positivos
sumk=1^infty k!6^k
Aplicando o teste da razão em ak = k!6^k:
L = limktoinfty ak+1ak = limktoinfty (k+1)!/6^k+1k!/6^k = limktoinfty k+16 = infty
Como L>1, a série absoluta diverge.

Passo 3

Para ver se há convergência condicional, basta checar o critério necessário de convergência: os termos gerais devem tender a zero. Aqui temos
limktoinfty (-1)^k+1 k!6^k = limktoinfty k!6^k = infty,
pois pelo mesmo raciocínio do teste da razão cada termo cresce depois de certo ponto. Como o termo geral não tende a zero, a série original também diverge.

Resposta

A série não converge nem absolutamente nem condicionalmente.

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