Resolva:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
Estamos lidando com equações diferenciais, especificamente uma equação que relaciona $ y $ e sua derivada $ y’ $. Para resolver isso, vamos usar técnicas de substituição e integração.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar $ y’ $ isolado:
Isso facilita a visualização de como separar as variáveis.
Passo 3
Observamos que a equação pode ser difícil de resolver diretamente. Então, vamos fazer uma substituição para simplificar. Vamos definir:
Isso nos ajudará a transformar a equação em algo mais manejável.
Passo 4
Com $ w = y^{2} $, a derivada de $ w $ em relação a $ x $ é:
Vamos substituir isso na equação original.
Passo 5
Substituindo $ y^{\prime} $ na equação:
Podemos simplificar multiplicando ambos os lados por $ 2 y $:
Passo 6
Agora, vamos separar as variáveis $ w $ e $ x $:
Dessa forma, podemos integrar ambos os lados separadamente.
Passo 7
Vamos integrar os dois lados:
A integral do lado esquerdo é direta:
Para resolver a integral do lado direito, fazemos uma fração parcial:
Então:
Passo 8
Voltando à equação:
Vamos simplificar exponenciando ambos os lados:
Onde $ K = e^{C} $ é uma constante arbitrária. Substituindo $ w = y^{2} $:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde $ K $ é uma constante arbitrária.