Resolva:
(1+x^2) cdot y^prime=1+y^2x y, y=y(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
(1 + x^2) cdot y^prime = 1 + y^2x y, y = y(x)
Estamos lidando com equações diferenciais, especificamente uma equação que relaciona $ y $ e sua derivada $ y’ $. Para resolver isso, vamos usar técnicas de substituição e integração.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar $ y’ $ isolado:
y'
Isso facilita a visualização de como separar as variáveis.

Passo 3

Observamos que a equação pode ser difícil de resolver diretamente. Então, vamos fazer uma substituição para simplificar. Vamos definir:
w = y^2
Isso nos ajudará a transformar a equação em algo mais manejável.

Passo 4

Com $ w = y^{2} $, a derivada de $ w $ em relação a $ x $ é:
w = y^2
Vamos substituir isso na equação original.

Passo 5

Substituindo $ y^{\prime} $ na equação:
y^prime
Podemos simplificar multiplicando ambos os lados por $ 2 y $:
(1 + x^2) cdot 12 y cdot dwdx = 1 + wx y

Passo 6

Agora, vamos separar as variáveis $ w $ e $ x $:
w
Dessa forma, podemos integrar ambos os lados separadamente.

Passo 7

Vamos integrar os dois lados:
integral 11 + w , dw = 2 integral 1x (1 + x^2) , dx
A integral do lado esquerdo é direta:
ln |1 + w| = 2 integral 1x (1 + x^2) , dx + C
Para resolver a integral do lado direito, fazemos uma fração parcial:
1x (1 + x^2) = 1x - x1 + x^2
Então:
2 integral ( 1x - x1 + x^2 ) dx = 2 ln |x| - ln |1 + x^2| + C

Passo 8

Voltando à equação:
ln |1 + w| = 2 ln |x| - ln |1 + x^2| + C
Vamos simplificar exponenciando ambos os lados:
1 + w = K cdot x^21 + x^2
Onde $ K = e^{C} $ é uma constante arbitrária. Substituindo $ w = y^{2} $:
K = e^C

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = raiz K x^21 + x^2 - 1
onde $ K $ é uma constante arbitrária.

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