Qual a velocidade angular de um automóvel que percorre uma pista circular e completa uma volta em dois minutos? Se o raio da circunferência da pista vale 50 m , qual a velocidade linear tangencial?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas. Dados e pedidos (tudo que é relevante):
  • Tempo para completar uma volta: \;2 minutos.
  • Raio da pista: \;50\\ \text{m}.
  • Pedidos:
    1. A velocidade angular do automóvel.
    2. A velocidade linear tangencial do automóvel (ou seja, a velocidade ao longo da pista).

Passo 2

Conceito e fórmula da velocidade angular (a mini-aula):
  • A velocidade angular mede quanto ângulo o corpo varre por unidade de tempo. Em notação usamos \omega para a velocidade angular.
  • A definição é
\omega = \frac{\Delta\theta}{\Delta t}
onde \omega é a velocidade angular (em rad/s), \Delta\theta é o deslocamento angular (em radianos) e \Delta t é o intervalo de tempo (em segundos).
  • Importante: uma volta completa corresponde a um deslocamento angular de \;2\pi radianos (essa é a definição de radiano: a circunferência completa tem 2\pi rad).
  • Então, se o carro dá uma volta em um tempo T, usamos \Delta\theta=2\pi e \Delta t=T para achar \omega.

Passo 3

Converto o tempo para segundos e calculo \omega:
  • Primeiro converter minutos para segundos:
T = 2\\ \text{min} = 2\cdot 60 = 120\\ \text{s}.
  • Aplicando a fórmula com \Delta\theta=2\pi e \Delta t=T:
\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{120} = \frac{\pi}{60}\\ \text{rad/s}.
  • Se quiser o valor numérico aproximado:
\omega \approx 0,05236\\ \text{rad/s}.
(Usei a aproximação \pi\approx 3{,}14159.)

Passo 4

Conceito e fórmula da velocidade linear tangencial (a mini-aula):
  • A posição ao longo da circunferência pode ser medida pelo arco percorrido s. Para um ângulo \theta (em radianos) e raio r, vale a relação:
s = r\theta.
  • Derivando em relação ao tempo (isto é, velocidade linear = taxa de variação do arco):
v = \frac{ds}{dt} = r\frac{d\theta}{dt} = r\omega.
  • Aqui v é a velocidade linear tangencial (em m/s), r é o raio (em m) e \omega é a velocidade angular (em rad/s). Essa fórmula mostra que a velocidade linear é diretamente proporcional ao raio e à velocidade angular.

Passo 5

Calculo numérico da velocidade linear usando \;v=r\omega:
  • Já temos \omega = \dfrac{\pi}{60}\\ \text{rad/s} e r=50\\ \text{m}.
  • Então
v = r\omega = 50\cdot \frac{\pi}{60} = \frac{50\pi}{60} = \frac{5\pi}{6}\\ \text{m/s}.
  • Aproximação numérica:
v \approx 2{,}618\\ \text{m/s}.

Passo 6

Resumo rápido e checagem mental:
  • Uma volta = 2\pi rad, tempo = 120 s → \omega=\dfrac{2\pi}{120}=\dfrac{\pi}{60} rad/s.
  • Velocidade linear = r\omega v=50\cdot\dfrac{\pi}{60}=\dfrac{5\pi}{6} m/s ≈ 2{,}618 m/s.
  • Está tudo consistente: unidades OK e o valor é razoável (um carro andando lentamente numa volta longa).

Resposta

\omega = \dfrac{\pi}{60}\\ \text{rad/s} \approx 0,05236\\ \text{rad/s}
\;v = \dfrac{5\pi}{6}\\ \text{m/s} \approx 2{,}618\\ \text{m/s}

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