Qual a velocidade angular de um automóvel que percorre uma pista circular e completa uma volta em dois minutos? Se o raio da circunferência da pista vale 50 m , qual a velocidade linear tangencial?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas. Dados e pedidos (tudo que é relevante):
- Tempo para completar uma volta:
minutos. - Raio da pista:
. - Pedidos:
- A velocidade angular do automóvel.
- A velocidade linear tangencial do automóvel (ou seja, a velocidade ao longo da pista).
Passo 2
Conceito e fórmula da velocidade angular (a mini-aula):
- A velocidade angular mede quanto ângulo o corpo varre por unidade de tempo. Em notação usamos
para a velocidade angular. - A definição é
onde
é a velocidade angular (em rad/s),
é o deslocamento angular (em radianos) e
é o intervalo de tempo (em segundos).
- Importante: uma volta completa corresponde a um deslocamento angular de
radianos (essa é a definição de radiano: a circunferência completa tem rad). - Então, se o carro dá uma volta em um tempo
, usamos e para achar .
Passo 3
Converto o tempo para segundos e calculo
:
- Primeiro converter minutos para segundos:
- Aplicando a fórmula com
e :
- Se quiser o valor numérico aproximado:
(Usei a aproximação
.)
Passo 4
Conceito e fórmula da velocidade linear tangencial (a mini-aula):
- A posição ao longo da circunferência pode ser medida pelo arco percorrido
. Para um ângulo (em radianos) e raio , vale a relação:
- Derivando em relação ao tempo (isto é, velocidade linear = taxa de variação do arco):
- Aqui
é a velocidade linear tangencial (em m/s), é o raio (em m) e é a velocidade angular (em rad/s). Essa fórmula mostra que a velocidade linear é diretamente proporcional ao raio e à velocidade angular.
Passo 5
Calculo numérico da velocidade linear usando
:
- Já temos
e . - Então
- Aproximação numérica:
Passo 6
Resumo rápido e checagem mental:
- Uma volta =
rad, tempo = s → rad/s. - Velocidade linear =
→ m/s ≈ m/s. - Está tudo consistente: unidades OK e o valor é razoável (um carro andando lentamente numa volta longa).