1. Em um ensaio de flexão em 20 corpos de prova de SiC , as resistências à fratura (em MPa ) foram:
320,350,370,380,390,400,410,420,430,440,450,460,470,480,490,500 520,540,560,600
Ajuste os dados à distribuição de Weibull e determine o módulo de Weibull (m) e o fator de escala ( sigmacirc ).

Passo 1

O enunciado fornece n=20 resistências à fratura sigmai (em MPa) de corpos de prova de SiC e pede para ajustar esses dados à distribuição de Weibull, cuja função de distribuição acumulada é
F(sigma)=1-expl[-(sigma/sigma0)^mr]
Precisamos determinar o módulo de Weibull m (inclinação na forma linearizada) e o parâmetro de escala sigma0.

Passo 2

Primeiro ordenamos os valores de sigmai em ordem crescente e atribuímos a cada ponto a probabilidade empírica de falha
Fi=i-0,5n, i=1,2,dots,20
Assim obtemos pares l(sigmai,Fir) onde sigmai são:
320,,350,,370,,380,,390,,400,,410,,420,,430,,440,,450,,460,,470,,480,,490,,500,,520,,540,,560,,600
e
Fi=0,025,;0,075,;0,125,dots,0,975

Passo 3

Para linearizar a distribuição de Weibull, definimos
xi=ln(sigmai), yi=lnl[-ln(1-Fi)r],
pois então a relação teórica fica
yi = m,xi - mln(sigma0),
ou seja, é uma reta de inclinação m e intercepto b=-mln(sigma0). Calculamos xi e yi para cada ponto e as somas necessárias:
sum xi,;sum yi,;sum xi^2,;sum xi yi

Passo 4

Usando regressão linear pelo método dos mínimos quadrados, obtém-se
m = nsum xi yi - (sum xi)(sum yi)nsum xi^2 - (sum xi)^2 approx 6,94,
e o intercepto
b = sum yi - m,sum xinapprox -42,88

Passo 5

Como b=-mln(sigma0), isolamos sigma0:
ln(sigma0) = -bmapprox 42,886,94approx 6,183,
sigma0 = exp(6,183)approx 4,84times10^2 MPa

Resposta

m approx 6,94, sigma0approx 484 MPa

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