Uma amostra aleatória entre homens e mulheres foi analisada com o objetivo de pesquisar-se o comportamento de “fumar cigarros”. Verificou-se que de 27 homens, 15 eram fumantes, e que de 33 mulheres, 12 tinham o hábito de fumar. Teste a hipótese de que o sexo influencia o comportamento de fumar, a um nível de
de significância.
Passo 1
O enunciado pede que a gente teste se o sexo influencia o hábito de fumar, ao nível de significância de
. Os dados fornecidos são:
Homens: e dos quais
são fumantes.
Mulheres: e dos quais
são fumantes.
Resumo em tabela (peguei os números do enunciado):
Homens:
Mulheres:
Resumo em tabela (peguei os números do enunciado):
Passo 2
Vamos escrever claramente as hipóteses que o enunciado pede testar (duas amostras, comparação de proporções):
Aqui
é a proporção de fumantes entre os homens e
é a proporção de fumantes entre as mulheres. O teste é bilateral porque queremos saber se o sexo influencia (pode aumentar ou diminuir a proporção).
Passo 3
Escolha do teste e fórmula: vou usar o teste z para diferença de duas proporções com a aproximação normal (método clássico e direto para provas). A ideia é comparar a diferença observada
com o que seria esperado sob
(que assume proporção comum), usando a variabilidade estimada pelo pooled (estimador combinado). As fórmulas principais são:
estimadores amostrais:
proporção combinada (pooled):
erro padrão sob
:
estatística de teste:
Em palavras:
é a melhor estimativa da proporção comum quando assumimos
; o
mede a incerteza esperada da diferença das proporções; o
indica quantos desvios-padrão a diferença observada está distante de zero.
Passo 4
Calcular a proporção combinada (pooled) usando os dados:
Passo 5
Calcular as proporções amostrais e a diferença observada:
diferença:
Passo 6
Calcular o erro padrão passo a passo. Primeiro a soma dos inversos dos tamanhos:
Agora
. Portanto
Passo 7
Calcular a estatística
e o p-valor:
Como o teste é bilateral, o p-valor é
vezes a cauda superior da normal padrão:
Alternativamente, pelo critério do valor crítico,
; como
, também concluímos que não rejeitamos
.
Passo 8
Interpretação e conclusão (do jeito que cai na prova): o p-valor obtido é aproximadamente
, maior que o nível de significância
. Logo não há evidência suficiente para rejeitar
. Em linguagem prática: com estes dados não podemos afirmar, ao nível de
, que o sexo influencia o hábito de fumar. (Um comentário útil para a prova: o teste qui-quadrado de independência na tabela
daria o mesmo sentido — a estatística seria
, menor que o crítico
.)
Resposta
Falha-se em rejeitar
;
. Não há evidência, ao nível de
, de que o sexo influencie o hábito de fumar.