Uma amostra aleatória entre homens e mulheres foi analisada com o objetivo de pesquisar-se o comportamento de “fumar cigarros”. Verificou-se que de 27 homens, 15 eram fumantes, e que de 33 mulheres, 12 tinham o hábito de fumar. Teste a hipótese de que o sexo influencia o comportamento de fumar, a um nível de 5 \% de significância.

Passo 1

O enunciado pede que a gente teste se o sexo influencia o hábito de fumar, ao nível de significância de 5\%. Os dados fornecidos são:
Homens: n_1=27 e dos quais x_1=15 são fumantes.
Mulheres: n_2=33 e dos quais x_2=12 são fumantes.
Resumo em tabela (peguei os números do enunciado):
\begin{array}{c|cc|c} & \text{Fumante} & \text{Não fumante} & \text{Total} \\hline \text{Homens} & 15 & 12 & 27 \\\ \text{Mulheres} & 12 & 21 & 33 \\hline \text{Total} & 27 & 33 & 60 \end{array}ã

Passo 2

Vamos escrever claramente as hipóteses que o enunciado pede testar (duas amostras, comparação de proporções):
H_0:\; p_1 = p_2
H_1:\; p_1 \neq p_2
Aqui \;p_1 é a proporção de fumantes entre os homens e \;p_2 é a proporção de fumantes entre as mulheres. O teste é bilateral porque queremos saber se o sexo influencia (pode aumentar ou diminuir a proporção).

Passo 3

Escolha do teste e fórmula: vou usar o teste z para diferença de duas proporções com a aproximação normal (método clássico e direto para provas). A ideia é comparar a diferença observada \hat p_1-\hat p_2 com o que seria esperado sob H_0 (que assume proporção comum), usando a variabilidade estimada pelo pooled (estimador combinado). As fórmulas principais são:
estimadores amostrais:
\hat p_1=\frac{x_1}{n_1},\qquad \hat p_2=\frac{x_2}{n_2}
proporção combinada (pooled):
\hat p=\frac{x_1+x_2}{n_1+n_2}
erro padrão sob H_0:
SE=\sqrt{\hat p(1-\hat p)\left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}\right)}
estatística de teste:
z=\frac{\hat p_1-\hat p_2}{SE}
Em palavras: \hat p é a melhor estimativa da proporção comum quando assumimos H_0; o SE mede a incerteza esperada da diferença das proporções; o z indica quantos desvios-padrão a diferença observada está distante de zero.

Passo 4

Calcular a proporção combinada (pooled) usando os dados:
\hat p=\frac{x_1+x_2}{n_1+n_2}=\frac{15+12}{27+33}=\frac{27}{60}=0{,}45.

Passo 5

Calcular as proporções amostrais e a diferença observada:
\hat p_1=\frac{15}{27}=\frac{5}{9}\approx0{,}5556,
\hat p_2=\frac{12}{33}=\frac{4}{11}\approx0{,}3636,
diferença:
\hat p_1-\hat p_2=\frac{15}{27}-\frac{12}{33}=\frac{171}{891}=\frac{19}{99}\approx0{,}1919.

Passo 6

Calcular o erro padrão passo a passo. Primeiro a soma dos inversos dos tamanhos:
\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}=\frac{1}{27}+\frac{1}{33}=\frac{33+27}{27\cdot33}=\frac{60}{891}=\frac{20}{297}\approx0{,}067340.
Agora \hat p(1-\hat p)=0{,}45\cdot0{,}55=0{,}2475. Portanto
SE=\sqrt{0{,}2475\cdot\frac{20}{297}}=\sqrt{\frac{4{,}95}{297}}=\sqrt{0{,}016666\ldots}\approx0{,}12910.

Passo 7

Calcular a estatística z e o p-valor:
z=\frac{\hat p_1-\hat p_2}{SE}\approx\frac{0{,}191919}{0{,}12910}\approx1{,}487.
Como o teste é bilateral, o p-valor é 2 vezes a cauda superior da normal padrão:
\text{p-valor}\approx 2\big(1-\Phi(1{,}487)\big)\approx 0{,}136.
Alternativamente, pelo critério do valor crítico, z_{0{,}025}=1{,}96; como |z|<1{,}96, também concluímos que não rejeitamos H_0.

Passo 8

Interpretação e conclusão (do jeito que cai na prova): o p-valor obtido é aproximadamente 0{,}136, maior que o nível de significância \alpha=0{,}05. Logo não há evidência suficiente para rejeitar H_0. Em linguagem prática: com estes dados não podemos afirmar, ao nível de 5\%, que o sexo influencia o hábito de fumar. (Um comentário útil para a prova: o teste qui-quadrado de independência na tabela 2\times2 daria o mesmo sentido — a estatística seria z^2\approx2{,}21, menor que o crítico \chi^2_{1,0{,}05}=3{,}84.)

Resposta

Falha-se em rejeitar H_0; \text{p-valor}\approx0{,}136. Não há evidência, ao nível de 5\%, de que o sexo influencie o hábito de fumar.

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