Um ensaio de tração convencional de um aço-carbono forneceu os seguintes resultados:
limite de proporcionalidade: sigmap=400 MPa
limite de resistência à tração: sigmau=750 MPa
módulo de elasticidade: E =210.000 MPa
Sabendo-se que o diâmetro original do corpo-de-prova é de 12 mm e que no ponto de máxima carga esse diâmetro se reduz a 11,3 mm, calcule o módulo de tenacidade real desse material. O que o módulo representa como característica qualitativa do material?
Observação: Considere no cálculo a curva tensão-deformação até o ponto de máxima carga.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que num ensaio de tração de um aço-carbono a gente tem:
• limite de proporcionalidade σₚ = 400 MPa
• limite de resistência à tração (eng.) σᵤ = 750 MPa
• módulo de elasticidade E = 210 000 MPa
• diâmetro inicial d₀ = 12 mm
• diâmetro no máximo carregamento dᵢ = 11,3 mm
Conteúdo: tensão e deformação verdadeiras, e cálculo do módulo de tenacidade (área sob a curva σ×ε até a carga máxima).
Vamos precisar de:
  1. calcular tensão real (σᵗ) e deformação real (εᵗ) no pico,
  2. estimar área sob a curva dividindo em parte elástica e plástica,
  3. somar essas áreas para achar a energia por volume (tenacidade).

Passo 2

  1. Área original e área na máxima carga:
A_0 = \pi\bigl(\tfrac{d_0}{2}\bigr)^2
\quad,\quad
A_i = \pi\bigl(\tfrac{d_i}{2}\bigr)^2
Substituindo d₀=12 mm e dᵢ=11,3 mm dá
A₀≈113,1 mm²
Aᵢ≈100,2 mm²
e a razão
\frac{A_0}{A_i}\approx1{,}1293

Passo 3

  1. Tensão verdadeira no pico:
\sigma^t = \sigma_u\;\frac{A_0}{A_i}
         = 750\;\text{MPa}\times1{,}1293
         \approx846{,}98\;\text{MPa}
  1. Deformações:
    – deformação de proporcionalidade (elástica):
\varepsilon_p = \frac{\sigma_p}{E}
               = \frac{400}{210\,000}
               \approx0{,}001905
– deformação verdadeira até o pico (supõe escoamento volumétrico constante):
\varepsilon^t = \ln\!\bigl(\tfrac{A_0}{A_i}\bigr)
              = \ln(1{,}1293)
              \approx0{,}1216

Passo 4

  1. Agora, o módulo de tenacidade T é a área sob σ×ε de 0 até εᵗ. Vamos dividir em dois pedaços:
    a) região elástica (triângulo de base εₚ e altura σₚ):
T_{\rm el} = \tfrac12\,\sigma_p\,\varepsilon_p
           = \tfrac12\times400\times0{,}001905
           \approx0{,}381\;\text{MPa}
b) região plástica (aproximada por trapézio entre (εₚ,σₚ) e (εᵗ,σᵗ)):
T_{\rm pl} 
= \frac{\sigma_p + \sigma^t}{2}\,\bigl(\varepsilon^t - \varepsilon_p\bigr)
= \frac{400 + 846{,}98}{2}\times(0{,}1216-0{,}001905)
\approx74{,}66\;\text{MPa}
Somando:
T = T_{\rm el} + T_{\rm pl} \approx0{,}381 + 74{,}66 = 75{,}04\;\text{MPa}
Como 1 MPa = 1 MJ/m³, fica
T ≈ 75 MJ/m³.

Resposta

O módulo de tenacidade real é aproximadamente 75 MJ/m³.
Qualitativamente, ele indica a energia por volume que o material consegue absorver até o ponto de carga máxima – ou seja, um indicativo da tenacidade e da capacidade de deformação sem fraturar.

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