Ensaios realizados em uma bomba de 72^{\prime \prime} de diâmetro, operando a 225 rpm , resultam numa CC abaixo
H(\mathrm{~m}) Q\left(\mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}\right) \eta(\%)
18,3 5,66 69
15,2 8,57 86
13,7 9,76 88
12,2 10,81 86,3
9,1 12,4 75
Qual o diâmetro e qual a rotação que deveria ter uma bomba homóloga para bombear 5,66 \mathrm{m}^{3} / \mathrm{s} com altura manométrica de 18,3 \mathrm{~m}, quando operada no ponto de maior eficiência?
Construa uma nova CC para esta condição

Passo 1

O enunciado nos dá os resultados de ensaios de uma bomba com diâmetro de 72^{\prime\prime} (operando a 225 rpm). A tabela fornecida é:
\begin{array}{|c|c|c|} \hline H(\mathrm{m}) & Q(\mathrm{m}^3/\mathrm{s}) & \eta(\%)\\\ \hline 18{,}3 & 5{,}66 & 69\\\ \hline 15{,}2 & 8{,}57 & 86\\\ \hline 13{,}7 & 9{,}76 & 88\\\ \hline 12{,}2 & 10{,}81 & 86{,}3\\\ \hline 9{,}1 & 12{,}4 & 75\\\ \hline \end{array}
O que o problema pede:
  • Determinar o diâmetro e a rotação que uma bomba homóloga deveria ter para bombear 5{,}66\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s} com altura manométrica de 18{,}3\\ \mathrm{m}, quando essa bomba homóloga estiver operando no ponto de maior eficiência.
  • Construir a nova curva característica (CC) para essa condição (ou seja, os pontos H vs Q e as eficiências correspondentes para a bomba homóloga nas mesmas posições relativas).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Diâmetro da bomba de referência: D_1 = 72^{\prime\prime}.
  • Rotação da bomba de referência: n_1 = 225\\ \mathrm{rpm}.
  • Dados experimentais (cinco pontos) listados acima.
  • O ponto de maior eficiência na tabela de referência é o de eficiência máxima: \eta_{\max}=88\%, que corresponde ao ponto (Q_1^{\rm BEP},H_1^{\rm BEP})=(9{,}76\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s},\;13{,}7\\ \mathrm{m}).
  • Objetivo para a bomba homóloga: operar no seu ponto de maior eficiência com (Q_2,H_2)=(5{,}66\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s},\;18{,}3\\ \mathrm{m}).

Passo 2

Conversão do diâmetro para o SI (já que a tabela está em metros). Converter 72^{\prime\prime} para metros:
1^{\prime\prime}=0{,}0254\\ \mathrm{m}\quad\Rightarrow\quad D_1 = 72\times 0{,}0254 = 1{,}8288\\ \mathrm{m}.
Anotei então:
D_1 = 1{,}8288\\ \mathrm{m},\qquad n_1 = 225\\ \mathrm{rpm}.

Passo 3

Apresentação e explicação das leis de semelhança (afinity laws) para bombas geométrica e dinamicamente homólogas — aula curta e prática.
Conceito: para bombas geometricamente semelhantes (mesma forma) as grandezas seguem leis de escala baseadas na velocidade característica U\sim nD (velocidade periférica) e na escala linear D.
As leis de semelhança mais usadas (leis de afinidade) são:
  • Vazão: \displaystyle Q\propto n\,D^{3}.
    Explicação: vazão tem dimensão de volume/tempo \sim velocidade \times área. Velocidade característica \sim nD e área \sim D^2, logo Q\sim(nD)\,D^2=nD^3.
  • Altura (ou carga manométrica): \displaystyle H\propto (nD)^{2}=n^{2}D^{2}.
    Explicação: H é proporcional à energia por massa \sim U^2/g, então H\sim (nD)^2 (constante g ignora-se na proporcionalidade).
  • Eficiência: em primeira aproximação, para homologias onde efeitos de Reynolds são desprezíveis ou semelhantes, a eficiência \eta se preserva (a curva de \eta em função dos coeficientes adimensionais é a mesma). Portanto associamos as eficiências dos pontos correspondentes.
Essas leis permitem relacionar dois conjuntos de operação (índice 1 para referência, índice 2 para a bomba desejada):
\frac{Q_2}{Q_1} = \frac{n_2}{n_1}\left(\frac{D_2}{D_1}\right)^3, \qquad \frac{H_2}{H_1} = \left(\frac{n_2}{n_1}\right)^2\left(\frac{D_2}{D_1}\right)^2.

Passo 4

Escolha do ponto de referência para fazer a escala: usamos o ponto de maior eficiência da bomba de referência como base de semelhança, porque o enunciado pede que a bomba homóloga opere no ponto de maior eficiência. Assim tomamos:
(Q_1,H_1) = (Q_1^{\rm BEP},H_1^{\rm BEP}) = (9{,}76,\;13{,}7).
E queremos que o BEP da bomba homóloga seja
(Q_2,H_2) = (5{,}66,\;18{,}3).
Definimos as razões:
k=\frac{D_2}{D_1},\qquad r=\frac{n_2}{n_1}.
As equações das leis de afinidade ficam:
\frac{5{,}66}{9{,}76}=r\,k^{3},\qquad \frac{18{,}3}{13{,}7}=r^{2}\,k^{2}.

Passo 5

Resolver analiticamente para k e r. A partir das duas equações:
A\equiv\frac{5{,}66}{9{,}76}=r\,k^{3}, \qquad B\equiv\frac{18{,}3}{13{,}7}=r^{2}\,k^{2}.
Eliminando r: da primeira r=\dfrac{A}{k^{3}}. Substituindo na segunda:
B=\left(\frac{A}{k^{3}}\right)^{2}k^{2}=\frac{A^{2}}{k^{4}}.
Logo
k^{4}=\frac{A^{2}}{B}\quad\Rightarrow\quad k=\left(\frac{A^{2}}{B}\right)^{1/4}.
Depois de obter k, usa-se r=A/k^{3} e finalmente D_2=kD_1 e n_2=r n_1.

Passo 6

Cálculo numérico passo a passo (mostrando as frações exatas quando cabível).
Calcule A e B:
A=\frac{5{,}66}{9{,}76}=\frac{566}{976}=\frac{283}{488}\approx 0{,}5799180328,
B=\frac{18{,}3}{13{,}7}=\frac{183}{137}\approx 1{,}3357664234.
Agora
A^{2}=\left(\frac{283}{488}\right)^{2}=\frac{80089}{238144}\approx 0{,}336305.
k^{4}=\frac{A^{2}}{B}\approx\frac{0{,}336305}{1{,}3357664234}\approx 0{,}25165.
Tirando a raiz quarta (duas raízes quadradas):
k = (0{,}25165)^{1/4} \approx 0{,}70830.
Logo o novo diâmetro:
D_2 = k D_1 \approx 0{,}70830\times 1{,}8288\\ \mathrm{m}\approx 1{,}29535\\ \mathrm{m}.
Agora k^3 e r:
k^{3}=k^{4}/k \approx 0{,}25165/0{,}70830\approx 0{,}35545,
r=\frac{A}{k^{3}}\approx\frac{0{,}5799180328}{0{,}35545}\approx 1{,}63170.
Portanto a rotação:
n_2 = r n_1 \approx 1{,}63170\times 225\\ \mathrm{rpm}\approx 367{,}13\\ \mathrm{rpm}.
Arredondamentos práticos: D_2\approx 1{,}295\\ \mathrm{m} e n_2\approx 367\\ \mathrm{rpm}.

Passo 7

Interpretação física curta (motivação para o exame): reduzir o diâmetro (de 1{,}8288 m para \approx1{,}295 m) e aumentar a rotação (de 225 rpm para \approx367 rpm) permitiu transformar o ponto de maior eficiência da bomba original (9{,}76,\;13{,}7) para o ponto desejado (5{,}66,\;18{,}3) — isso é típico: elevar a rotação eleva H (pois H\propto n^{2}D^{2}), e reduzir o diâmetro reduz Q (pois Q\propto nD^{3}), combinando-se dá o efeito pedido.

Passo 8

Construção da nova curva característica (CC) da bomba homóloga nas mesmas posições relativas dos pontos experimentais: usar as mesmas razões de escala obtidas. As razões de escala são:
s_Q = r\,k^{3} = A = \frac{5{,}66}{9{,}76}\approx 0{,}5799180328, \qquad s_H = r^{2}\,k^{2} = B = \frac{18{,}3}{13{,}7}\approx 1{,}3357664234.
Portanto cada ponto (H_i,Q_i,\eta_i) da tabela original transforma-se em
Q_i' = s_Q\,Q_i,\qquad H_i' = s_H\,H_i,\qquad \eta_i'=\eta_i.
Agora calculo ponto a ponto (mantendo 3 casas significativas quando apropriado):
Ponto 1 (original 18{,}3,\;5{,}66,\;69\%):
Q_1' = 5{,}66\times 0{,}5799180328 \approx 3{,}28234\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s},
H_1' = 18{,}3\times 1{,}3357664234 \approx 24{,}4446\\ \mathrm{m},
\eta_1' = 69\%.
Ponto 2 (original 15{,}2,\;8{,}57,\;86\%):
Q_2' = 8{,}57\times 0{,}5799180328 \approx 4{,}96990\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s},
H_2' = 15{,}2\times 1{,}3357664234 \approx 20{,}3037\\ \mathrm{m},
\eta_2' = 86\%.
Ponto 3 — BEP (original 13{,}7,\;9{,}76,\;88\%) mapeado por construção para:
Q_3' = 9{,}76\times 0{,}5799180328 = 5{,}66\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s},
H_3' = 13{,}7\times 1{,}3357664234 = 18{,}3\\ \mathrm{m},
\eta_3' = 88\%.
Ponto 4 (original 12{,}2,\;10{,}81,\;86{,}3\%):
Q_4' = 10{,}81\times 0{,}5799180328 \approx 6{,}26893\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s},
H_4' = 12{,}2\times 1{,}3357664234 \approx 16{,}2962\\ \mathrm{m},
\eta_4' = 86{,}3\%.
Ponto 5 (original 9{,}1,\;12{,}4,\;75\%):
Q_5' = 12{,}4\times 0{,}5799180328 \approx 7{,}19098\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s},
H_5' = 9{,}1\times 1{,}3357664234 \approx 12{,}1545\\ \mathrm{m},
\eta_5' = 75\%.
Esses pontos constituem a nova CC da bomba homóloga (em operação a n_2 e com D_2), mantendo as eficiências correspondentes.

Resposta

D_2 \approx 1{,}295\\ \mathrm{m}
n_2 \approx 367\\ \mathrm{rpm}
Nova CC (cada linha: H' em m — Q' em m ^3/s — \eta' em %):
24{,}4446 3{,}28234 69\%
20{,}3037 4{,}96990 86\%
18{,}3 5{,}66 88\%
16{,}2962 6{,}26893 86{,}3\%
12{,}1545 7{,}19098 75\%

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