Ensaios realizados em uma bomba de
de diâmetro, operando a 225 rpm , resultam numa CC abaixo
18,3
5,66
69
15,2
8,57
86
13,7
9,76
88
12,2
10,81
86,3
9,1
12,4
75
Qual o diâmetro e qual a rotação que deveria ter uma bomba homóloga para bombear 5,66
com altura manométrica de
, quando operada no ponto de maior eficiência?
Construa uma nova CC para esta condição
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| 18,3 | 5,66 | 69 |
| 15,2 | 8,57 | 86 |
| 13,7 | 9,76 | 88 |
| 12,2 | 10,81 | 86,3 |
| 9,1 | 12,4 | 75 |
Passo 1
O enunciado nos dá os resultados de ensaios de uma bomba com diâmetro de
(operando a
rpm). A tabela fornecida é:
O que o problema pede:
- Determinar o diâmetro e a rotação que uma bomba homóloga deveria ter para bombear
com altura manométrica de , quando essa bomba homóloga estiver operando no ponto de maior eficiência. - Construir a nova curva característica (CC) para essa condição (ou seja, os pontos
vs e as eficiências correspondentes para a bomba homóloga nas mesmas posições relativas).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Diâmetro da bomba de referência:
. - Rotação da bomba de referência:
. - Dados experimentais (cinco pontos) listados acima.
- O ponto de maior eficiência na tabela de referência é o de eficiência máxima:
, que corresponde ao ponto . - Objetivo para a bomba homóloga: operar no seu ponto de maior eficiência com
.
Passo 2
Conversão do diâmetro para o SI (já que a tabela está em metros). Converter
para metros:
Anotei então:
Passo 3
Apresentação e explicação das leis de semelhança (afinity laws) para bombas geométrica e dinamicamente homólogas — aula curta e prática.
Conceito: para bombas geometricamente semelhantes (mesma forma) as grandezas seguem leis de escala baseadas na velocidade característica
(velocidade periférica) e na escala linear
.
As leis de semelhança mais usadas (leis de afinidade) são:
- Vazão:
.
Explicação: vazão tem dimensão de volume/tempovelocidade área. Velocidade característica e área , logo . - Altura (ou carga manométrica):
.
Explicação:é proporcional à energia por massa , então (constante ignora-se na proporcionalidade). - Eficiência: em primeira aproximação, para homologias onde efeitos de Reynolds são desprezíveis ou semelhantes, a eficiência
se preserva (a curva de em função dos coeficientes adimensionais é a mesma). Portanto associamos as eficiências dos pontos correspondentes.
Essas leis permitem relacionar dois conjuntos de operação (índice 1 para referência, índice 2 para a bomba desejada):
Passo 4
Escolha do ponto de referência para fazer a escala: usamos o ponto de maior eficiência da bomba de referência como base de semelhança, porque o enunciado pede que a bomba homóloga opere no ponto de maior eficiência. Assim tomamos:
E queremos que o BEP da bomba homóloga seja
Definimos as razões:
As equações das leis de afinidade ficam:
Passo 5
Resolver analiticamente para
e
. A partir das duas equações:
Eliminando
: da primeira
. Substituindo na segunda:
Logo
Depois de obter
, usa-se
e finalmente
e
.
Passo 6
Cálculo numérico passo a passo (mostrando as frações exatas quando cabível).
Calcule
e
:
Agora
Tirando a raiz quarta (duas raízes quadradas):
Logo o novo diâmetro:
Agora
e
:
Portanto a rotação:
Arredondamentos práticos:
e
.
Passo 7
Interpretação física curta (motivação para o exame): reduzir o diâmetro (de
m para
m) e aumentar a rotação (de
rpm para
rpm) permitiu transformar o ponto de maior eficiência da bomba original
para o ponto desejado
— isso é típico: elevar a rotação eleva
(pois
), e reduzir o diâmetro reduz
(pois
), combinando-se dá o efeito pedido.
Passo 8
Construção da nova curva característica (CC) da bomba homóloga nas mesmas posições relativas dos pontos experimentais: usar as mesmas razões de escala obtidas. As razões de escala são:
Portanto cada ponto
da tabela original transforma-se em
Agora calculo ponto a ponto (mantendo 3 casas significativas quando apropriado):
Ponto 1 (original
):
Ponto 2 (original
):
Ponto 3 — BEP (original
) mapeado por construção para:
Ponto 4 (original
):
Ponto 5 (original
):
Esses pontos constituem a nova CC da bomba homóloga (em operação a
e com
), mantendo as eficiências correspondentes.
Resposta
Nova CC (cada linha: