Exercício: Determinar os diâmetros, a altura manométrica e a potência transmitida ao líquido para recalcar 45 \mathrm{l} / \mathrm{s}, durante 24 \mathrm{~h} / dia. As tubulações de sucção e recalque têm C=120 e comprimentos 15 e 3.000 m . respectivamente

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar os diâmetros das tubulações (sucção e recalque), a altura manométrica (altura que a bomba deve fornecer) e a potência transmitida ao líquido para recalcar 45\\ \mathrm{l/s} durante 24\\ \mathrm{h/dia}.
Dados fornecidos (peguei estes números da imagem enviada):
  • Vazão: Q=45\\ \mathrm{l/s}=0{,}045\\ \mathrm{m^3/s}.
  • Comprimento da tubulação de sucção: L_s=15\\ \mathrm{m}.
  • Comprimento da tubulação de recalque (descarga): L_r=3000\\ \mathrm{m}.
  • Coeficiente de Hazen–Williams: C=120 (ambas as tubulações).
  • Coeficientes de perda local (valores listados na imagem):
    • Válvula de retenção / VR: K_{VR}=2{,}5.
    • Registro/grade (RG): K_{RG}=0{,}2.
    • Válvula pé (foot valve): K_{pé}=1{,}75é.
    • Crivo (tela/strainer): K_{crivo}=0{,}75.
    • Curva de 90^\circ: K_{c90}=0{,}4.
    • Saída da canalização (entrada do reservatório de destino): K_{saida}=1{,}0.
    • (A imagem também mostra “saída lateral” K=1{,}0; vou considerar apenas os locais que aparecem no percurso principal listados acima.)
  • Diferença de nível entre os dois espelhos d’água (peguei da imagem): \Delta z = 28{,}0\\ \mathrm{m}.
Observações/assunções (a imagem tem alguns números e símbolos; caso eu esteja interpretando algo errado, isso afetará o resultado):
  • Assumo que a diferença de nível entre o espelho do reservatório de sucção e o reservatório de recalque é \Delta z=28{,}0\\ \mathrm{m} (valor lido na imagem).
  • Vou tomar que a bomba deve vencer a elevação estática \Delta z mais as perdas por atrito e as perdas locais ao longo do trajeto.
  • Para simplificar e porque é comum na prática, vou escolher um único diâmetro comercial para ambas as tubulações (sucção e recalque). A regra que vou usar para escolher o diâmetro é limitar a velocidade do escoamento a um valor aceitável (evitar velocidade muito alta). Vou adotar como critério prático v_{\max}=2{,}0\\ \mathrm{m/s} e escolher o diâmetro comercial mais próximo que satisfaça isso. Explico e justifico melhor adiante.

Passo 2

Fórmulas e conceitos que vamos usar (explicação didática):
  1. Conversão de unidades:
  • Q=45\\ \mathrm{l/s}=0{,}045\\ \mathrm{m^3/s}. Sempre transformar litros/s em m^3/s para usar fórmulas padrão.
  1. Velocidade média no tubo (relaciona Q, d e v):
v=\frac{4Q}{\pi d^{2}},
onde v é a velocidade média ( \mathrm{m/s}), Q a vazão ( \mathrm{m^3/s}) e d o diâmetro interno ( \mathrm{m}). Esta fórmula vem de Q=A v com A=\pi d^{2}/4.
  1. Perda de carga por atrito: fórmula de Hazen–Williams (usada em água, prática em projetos de distribuição):
h_f = 10{,}67\\ \frac{L\;Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\;d^{4{,}8704}},
onde h_f é a perda de carga por atrito em metros, L é o comprimento da tubulação em metros, Q em \mathrm{m^3/s}, C é o coeficiente de Hazen–Williams (adimensional) e d é o diâmetro em metros. Atenção: os expoentes são fixos (1,852 e 4,8704) na forma usual desta equação. Esta fórmula já dá h_f em metros quando as unidades estão em SI apropriadas.
  1. Perdas localizadas (válvulas, curvas, entradas, saídas etc.):
h_{m} = K \;\frac{v^{2}}{2g},
onde K é o coeficiente somado das perdas locais (adimensionais), v é a velocidade média no trecho considerado e g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Se houver trechos com diâmetros diferentes, cada trecho tem sua própria velocidade e perdas locais correspondentes; aqui adotarei um único diâmetro para simplificar.
  1. Altura manométrica total que a bomba deve fornecer:
H = \Delta z + h_{f,s} + h_{f,r} + h_{m,\text{total}},
onde \Delta z é a diferença de nível entre espelhos d’água, h_{f,s} e h_{f,r} são as perdas por atrito na sucção e recalque, e h_{m,\text{total}} é a soma das perdas locais (sucção + recalque).
  1. Potência hidráulica transmitida ao líquido:
P_{hid} = \rho\;g\;Q\;H,
onde \rho é a densidade da água (tomarei \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3}), g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}, Q em \mathrm{m^3/s} e H em metros; o resultado fica em watts. Essa potência é a potência efetivamente transmitida ao fluido (não confundir com potência do motor, que deve considerar eficiência da bomba).

Passo 3

Escolha do diâmetro (critério prático e justificativa):
  • Critério adotado: limitar velocidade média a v_{\max}=2{,}0\\ \mathrm{m/s} (valores típicos de projeto variam de 1 a 2 m/s para longas linhas de recalque; quanto maior o diâmetro menor as perdas por atrito em tubulações longas).
  • Determinar o diâmetro mínimo para v\le 2{,}0\\ \mathrm{m/s}. Usando \displaystyle v=\frac{4Q}{\pi d^{2}}, isolamos d:
d_{\min}=\sqrt{\frac{4Q}{\pi v_{\max}}}.
Substituindo Q=0{,}045\\ \mathrm{m^3/s} e v_{\max}=2{,}0\\ \mathrm{m/s}:
d_{\min}=\sqrt{\frac{4\cdot 0{,}045}{\pi\cdot 2{,}0}} =\sqrt{\frac{0{,}18}{6{,}28318}} =\sqrt{0{,}02865}\approx 0{,}1693\\ \mathrm{m}.
  • Escolher um diâmetro comercial logo acima desse valor: adoto d=0{,}20\\ \mathrm{m} (200 mm), que é uma escolha prática e comum. Com d=0{,}20\\ \mathrm{m} a velocidade fica abaixo do limite; calculamos agora.
Cálculo da velocidade com d=0{,}20\\ \mathrm{m}:
v=\frac{4Q}{\pi d^{2}}=\frac{4\cdot 0{,}045}{\pi\cdot 0{,}20^{2}} =\frac{0{,}18}{\pi\cdot 0{,}04} =\frac{0{,}18}{0{,}1256637}\approx 1{,}433\\ \mathrm{m/s}.
Comentário: v\approx 1{,}43\\ \mathrm{m/s}, aceitável (menor que 2\\ \mathrm{m/s}). Portanto adoto d_s=d_r=0{,}20\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Cálculo das perdas por atrito (Hazen–Williams) para cada trecho com d=0{,}20\\ \mathrm{m}.
Primeiro calcule algumas potências que aparecem na fórmula:
  • Q^{1{,}852}. Com Q=0{,}045\\ \mathrm{m^3/s}: Q^{1{,}852}\approx 0{,}045^{1{,}852}\approx 0{,}00323\quad(\text{valor numérico})é(fiz a avaliação numérica usando logaritmos).
  • C^{1{,}852}=120^{1{,}852}\approx 7100 (aproximadamente).
  • d^{4{,}8704}=(0{,}20)^{4{,}8704}\approx 3{,}92\times 10^{-4}.
Agora a constante multiplicativa:
10{,}67\cdot \frac{Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\,d^{4{,}8704}} =10{,}67\cdot\frac{0{,}00323}{7100\cdot 3{,}92\times 10^{-4}} \approx 10{,}67\cdot\frac{0{,}00323}{2{,}783} \approx 10{,}67\cdot 0{,}001161 \approx 0{,}01238.
Portanto
h_f \approx 0{,}01238\;L\quad(\text{m}),
isto é, a perda por atrito é aproximadamente 0{,}01238 vezes o comprimento L (para os números usados).
  • Perda por atrito no trecho de sucção ( L_s=15\\ \mathrm{m}):
h_{f,s}=0{,}01238\cdot 15 \approx 0{,}186\\ \mathrm{m}.
  • Perda por atrito no trecho de recalque ( L_r=3000\\ \mathrm{m}):
h_{f,r}=0{,}01238\cdot 3000 \approx 37{,}14\\ \mathrm{m}.
  • Soma das perdas por atrito:
h_{f,\text{total}}=h_{f,s}+h_{f,r}\approx 0{,}186+37{,}14\approx 37{,}33\\ \mathrm{m}.
Observação: a perda no recalque domina (devido ao comprimento muito grande).

Passo 5

Cálculo das perdas locais (soma de K multiplicada por v^{2}/(2g)).
Velocidade calculada no Passo 3: v\approx 1{,}433\\ \mathrm{m/s}.
Energia cinética de referência:
\frac{v^{2}}{2g}=\frac{(1{,}433)^{2}}{2\cdot 9{,}81}=\frac{2{,}054}{19{,}62}\approx 0{,}1048\\ \mathrm{m}.
Somatório dos K ao longo do percurso (usei os K mostrados na imagem para os itens no percurso principal):
  • Sucção: K_{pé}+K_{crivo}=1{,}75+0{,}75=2{,}50é.
  • Recalque (itens no percurso exibidos): K_{VR}+K_{RG}+K_{c90}+K_{saida}=2{,}5+0{,}2+0{,}4+1{,}0=4{,}1.
  • K_{\text{total}}=2{,}50+4{,}10=6{,}60.
Perdas locais totais:
h_{m,\text{total}}=K_{\text{total}}\cdot\frac{v^{2}}{2g} =6{,}60\cdot 0{,}1048\approx 0{,}692\\ \mathrm{m}.
Observação: as perdas locais são pequenas comparadas à perda por atrito no trecho de 3000 m.

Passo 6

Cálculo da altura manométrica total H que a bomba deve fornecer:
H=\Delta z + h_{f,\text{total}} + h_{m,\text{total}} =28{,}0 + 37{,}33 + 0{,}692 \approx 66{,}02\\ \mathrm{m}.
Portanto a bomba precisa fornecer cerca de 66{,}0\\ \mathrm{m} de coluna de água para vencer a elevação estática mais todas as perdas.

Passo 7

Cálculo da potência hidráulica transmitida ao líquido:
Usando \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3} e g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}:
P_{hid}=\rho g Q H =1000\cdot 9{,}81\cdot 0{,}045\cdot 66{,}02.
Calcule passo a passo:
1000\cdot 0{,}045 = 45,
9{,}81\cdot 66{,}02 \approx 647{,}96,
P_{hid}=45\cdot 647{,}96 \approx 29\,158\\ \mathrm{W}\approx 29{,}16\\ \mathrm{kW}.
Interpretação prática: a potência entregue ao fluido (potência hidráulica) é cerca de 29{,}2\\ \mathrm{kW}.
Se for necessário dimensionar o motor elétrico, é preciso considerar a eficiência global da bomba \eta. Por exemplo, se \eta=0{,}70 (70 %), a potência do motor seria:
P_{motor}=\frac{P_{hid}}{\eta}=\frac{29{,}16}{0{,}70}\approx 41{,}65\\ \mathrm{kW}.
Mas esse valor do rendimento é uma suposição; o enunciado não fornece eficiência, então o valor certo a reportar como pedido é a potência hidráulica P_{hid} (potência transmitida ao líquido).

Passo 8

Resumo dos resultados (valores finais calculados com as assunções explicitadas):
  • Diâmetros escolhidos (sucção e recalque): d_s=d_r=0{,}20\\ \mathrm{m} (200 mm), critério: v\le 2{,}0\\ \mathrm{m/s}.
  • Velocidade resultante: v\approx 1{,}433\\ \mathrm{m/s}.
  • Perdas por atrito totais: h_{f,\text{total}}\approx 37{,}33\\ \mathrm{m}.
  • Perdas locais totais: h_{m,\text{total}}\approx 0{,}69\\ \mathrm{m}.
  • Altura manométrica requerida: H\approx 66{,}02\\ \mathrm{m}.
  • Potência hidráulica transmitida ao líquido: P_{hid}\approx 29{,}16\\ \mathrm{kW}.
  • Potência do motor (se assumir \eta=70\%, apenas como referência): P_{motor}\approx 41{,}7\\ \mathrm{kW}.

Resposta

Diâmetros: d_s=d_r=0{,}20\\ \mathrm{m}
Altura manométrica: H\approx 66{,}02\\ \mathrm{m}
Potência transmitida ao líquido: P_{hid}\approx 29{,}16\\ \mathrm{kW}

Exercícios relacionados