Se lim x a f(x)=L1 e lim x a g(x)=L2, então:

Passo 1

O enunciado diz que temos duas funções f e g tais que
limxto a f(x) = L1 e limxto a g(x) = L2
O que se pede são as regras de álgebra de limites: soma, diferença, produto, quociente e multiplicação por constante. Para isso, vamos usar a definição varepsilon- de<a de limite e as propriedades de desigualdades.

Passo 2

Recordando a definição de limite:
limxto a f(x) = L1
significa que, para todo varepsilon>0, existe de<a1>0 tal que
0<|x-a|<de<a1 ;Longrightarrow; |f(x)-L1|<varepsilon
De modo análogo, para limxto a g(x)=L2 existe de<a2>0 que controla |g(x)-L2|.

Passo 3

Prova da soma (e diferença):
Queremos mostrar
limxto al(f(x)pm g(x)r)=L1pm L2
Dado varepsilon>0, escolha varepsilon1=varepsilon/2 e varepsilon2=varepsilon/2. Pelas hipóteses há de<a1 com |f(x)-L1|<varepsilon1 e de<a2 com |g(x)-L2|<varepsilon2 sempre que 0<|x-a|<min(de<a1,de<a2). Então
l|(f(x)pm g(x))-(L1pm L2)r| <= |f(x)-L1|+|g(x)-L2|<varepsilon1+varepsilon2 =varepsilon,
como queríamos.

Passo 4

Prova da multiplicação por constante:
Para dado cinR, queremos
limxto al(c,f(x)r)=c,L1
Dado varepsilon>0, use de<a tal que |f(x)-L1|<varepsilon/|c| (se c=0 o resultado é trivial). Então
|c,f(x)-c,L1|=|c|,|f(x)-L1|<|c|cdotvarepsilon|c|=varepsilon

Passo 5

Prova do produto:
Queremos
limxto al(f(x),g(x)r)=L1,L2
Note que
f(x),g(x)-L1L2 = f(x)l(g(x)-L2r) + L2l(f(x)-L1r)
Dado varepsilon>0, primeiro escolha de<a1 para |f(x)-L1|<1, o que garante |f(x)|<|L1|+1. Depois escolha de<a2 e de<a3 tais que
|g(x)-L2|<varepsilon2(|L1|+1) e |f(x)-L1|<varepsilon2|L2|+2
Tomando de<a=min(de<a1,de<a2,de<a3), obtemos
|f(x),g(x)-L1L2| <= |f(x)|,|g(x)-L2| + |L2|,|f(x)-L1| < (|L1|+1)varepsilon2(|L1|+1) + |L2|varepsilon2|L2|+2 =varepsilon2 + varepsilon2 =varepsilon

Passo 6

Prova do quociente:
Assumindo L2neq0, mostramos
limxto af(x)g(x) = L1L2
Como lim g(x)=L2, existe de<a1 tal que |g(x)-L2|<|L2|/2, garantindo |g(x)|>|L2|/2. Depois, para dado varepsilon>0, escolha de<a2 de modo que |f(x)-L1|<varepsilon,|L2|/2. Com de<a=min(de<a1,de<a2) segue
l|f(x)g(x) - L1L2r| = |f(x)L2 - L1 g(x)||g(x)L2| = |L2,(f(x)-L1) + L1,(L2-g(x))||g(x)|,|L2| <= |L2|,|f(x)-L1| + |L1|,|g(x)-L2|(|L2|/2),|L2|
Cada termo do numerador pode ser feito menor que varepsilon,|L2|^2/2, dando resultado abaixo de varepsilon.

Resposta

limxto al(f(x)+g(x)r)=L1+L2
limxto al(f(x)-g(x)r)=L1-L2
limxto al(c,f(x)r)=c,L1 para qualquer constante c
limxto al(f(x),g(x)r)=L1,L2
limxto af(x)g(x)=L1L2, desde que L2neq0.

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