O que se pede são as regras de álgebra de limites: soma, diferença, produto, quociente e multiplicação por constante. Para isso, vamos usar a definição - de limite e as propriedades de desigualdades.
Passo 2
Recordando a definição de limite:
significa que, para todo , existe tal que
De modo análogo, para existe que controla .
Passo 3
Prova da soma (e diferença):
Queremos mostrar
Dado , escolha e . Pelas hipóteses há com e com sempre que . Então
como queríamos.
Passo 4
Prova da multiplicação por constante:
Para dado cinR, queremos
limxto al(c,f(x)r)=c,L1
Dado varepsilon>0, use de<a tal que |f(x)-L1|<varepsilon/|c| (se c=0 o resultado é trivial). Então
Como lim g(x)=L2, existe de<a1 tal que |g(x)-L2|<|L2|/2, garantindo |g(x)|>|L2|/2. Depois, para dado varepsilon>0, escolha de<a2 de modo que |f(x)-L1|<varepsilon,|L2|/2. Com de<a=min(de<a1,de<a2) segue
Cada termo do numerador pode ser feito menor que varepsilon,|L2|^2/2, dando resultado abaixo de varepsilon.
Resposta
limxto al(f(x)+g(x)r)=L1+L2 limxto al(f(x)-g(x)r)=L1-L2 limxto al(c,f(x)r)=c,L1 para qualquer constante c limxto al(f(x),g(x)r)=L1,L2 limxto af(x)g(x)=L1L2, desde que L2neq0.