Mostre que:
A soma ou a diferença entre um número racional e um número irracional é um número irracional. Mostre, com um contraexemplo, que o produto de dois números irracionais pode ser racional.
A soma ou a diferença entre um número racional e um número irracional é um número irracional. Mostre, com um contraexemplo, que o produto de dois números irracionais pode ser racional.
Passo 1
O enunciado quer duas coisas: mostrar que, para todo número racional
e todo número irracional
, as quantidades
e
são sempre irracionais; e em seguida dar um exemplo de dois irracionais cujo produto seja racional.
Passo 2
Prova por absurdo para a soma (o caso da diferença é análogo). Seja
e
. Suponha que
seja racional, isto é, exista
tal que
Então
Mas
e
são racionais, e a diferença de dois racionais é racional. Logo
seria racional, o que contradiz a hipótese de
ser irracional. Portanto
não pode ser racional, isto é, é irracional.
Para a diferença, basta repetir a mesma ideia: se
fosse racional, então
seria racional, outra contradição. Logo
é irracional.
Passo 3
Contraexemplo para produto de irracionais ser racional. Tome
e
. Cada um é irracional, mas
e
é racional.
Resposta
A soma e a diferença de um racional com um irracional são irracionais. Como contraexemplo de produto de irracionais que é racional, basta observar que
.