Mostre que:
A soma ou a diferença entre um número racional e um número irracional é um número irracional. Mostre, com um contraexemplo, que o produto de dois números irracionais pode ser racional.

Passo 1

O enunciado quer duas coisas: mostrar que, para todo número racional r e todo número irracional x, as quantidades r+x e r - x são sempre irracionais; e em seguida dar um exemplo de dois irracionais cujo produto seja racional.

Passo 2

Prova por absurdo para a soma (o caso da diferença é análogo). Seja rin Q e xin Rsetminus Q. Suponha que
r + x
seja racional, isto é, exista sin Q tal que
r + x = s
Então
x = s - r
Mas s e r são racionais, e a diferença de dois racionais é racional. Logo x seria racional, o que contradiz a hipótese de x ser irracional. Portanto r+x não pode ser racional, isto é, é irracional.
Para a diferença, basta repetir a mesma ideia: se r - x fosse racional, então x = r - (r - x) seria racional, outra contradição. Logo r - x é irracional.

Passo 3

Contraexemplo para produto de irracionais ser racional. Tome x = raiz2 e y = raiz2. Cada um é irracional, mas
x cdot y = raiz2,raiz2 = 2,
e 2 é racional.

Resposta

A soma e a diferença de um racional com um irracional são irracionais. Como contraexemplo de produto de irracionais que é racional, basta observar que raiz2cdotraiz2=2.

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