Prove as seguintes unicidades:
Se x+theta=x para algum x in R, então theta=0.

Passo 1

O enunciado quer mostrar a unicidade do neutro aditivo em R: “se para algum xinR temos
x + theta = x,
então theta deve ser o elemento neutro 0 da adição.”
O que usamos: associatividade da adição, existência de elemento inverso e do elemento neutro em (R,+).

Passo 2

Começamos aplicando a lei de cancelamento, isto é, somamos o inverso aditivo de x, que é -x, em ambos os lados da igualdade:
(-x) + (x + theta) = (-x) + x

Passo 3

Pela associatividade e pelas definições de inverso e neutro aditivo, o lado esquerdo fica
(-x + x) + theta = 0 + theta = theta,
enquanto o lado direito é
(-x) + x = 0
Assim obtemos theta = 0.

Resposta

theta = 0

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