I. Se
, então
.
II. Se
ou
, então
.
III. Se
e
, então
.
Então, destas é (são) verdadeira(s)
a) apenas
.
b) apenas I e II.
c) apenas II e III.
d) apenas I e III.
e) todas.
II. Se
III. Se
Então, destas é (são) verdadeira(s)
a) apenas
b) apenas I e II.
c) apenas II e III.
d) apenas I e III.
e) todas.
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que o enunciado pede: ele traz três sentenças condicionais (I, II e III) envolvendo desigualdades com
e
e pergunta quais delas são verdadeiras. O conteúdo é de lógica e análise de desigualdades, então a gente vai usar:
- Propriedades de desigualdades (como o mínimo ou máximo que uma expressão pode ter sob certas condições).
- Identificação de contraexemplos (procurar valores de
e que quebrem a implicação).
Depois desse passo, a gente vai testar cada item e ver se a implicação sempre vale ou se dá pra encontrar um contraexemplo.
Passo 2
Análise da sentença I:
“Se e
, então
.”
“Se
- Teoria aplicada: se queremos que
seja sempre maior que 12 dando e , a gente pode achar o menor valor possível de dentro dessas restrições. - Como
, o menor valor de é algo maior que . Logo . - Como
, o maior valor de (pois é negativo de ) é algo maior que . Logo . - Somando as duas:
Não dá pra chegar exatamente em 12 (porque as desigualdades são estritas), mas a soma fica sempre acima de 12. Conclusão: I é verdadeira.
Passo 3
Análise da sentença II:
“Se ou
, então
.”
“Se
- Agora o “ou” é inclusivo: basta que uma das condições valha.
- Para que a implicação seja falsa, basta achar um caso em que (digamos)
mas . - Contraexemplo simples: escolha
(que satisfaz ) e (não importa que não satisfaça , porque já temos o “ou”). - Calcula:
que é bem menor que 12. - Logo a implicação falha. II é falsa.
Passo 4
Análise da sentença III:
“Se e
, então
.”
“Se
- A condição
permite duas faixas de :
a), ou
b). - Para a implicação ser sempre verdadeira, o resultado
tem que ser negativo em ambos os casos. - Se
, então é menor que . Como , a soma fica abaixo de . OK. - Mas se
, então é positivo e maior que . Mesmo que seja quase zero, fica acima de , ou seja, positivo. - Contraexemplo rápido:
(ok, ), (ok, ). Falhou. III é falsa.
Resposta
Apenas a sentença I é verdadeira. Portanto a resposta é a) apenas I.