I. Se x>4 e y<2, então x^2-2 y>12.
II. Se x>4 ou y<2, então x^2-2 y>12.
III. Se x^2<1 e y^2>2, então x^2-2 y<0.
Então, destas é (são) verdadeira(s)
a) apenas I.
b) apenas I e II.
c) apenas II e III.
d) apenas I e III.
e) todas.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o enunciado pede: ele traz três sentenças condicionais (I, II e III) envolvendo desigualdades com e e pergunta quais delas são verdadeiras. O conteúdo é de lógica e análise de desigualdades, então a gente vai usar:
  • Propriedades de desigualdades (como o mínimo ou máximo que uma expressão pode ter sob certas condições).
  • Identificação de contraexemplos (procurar valores de e que quebrem a implicação).
Depois desse passo, a gente vai testar cada item e ver se a implicação sempre vale ou se dá pra encontrar um contraexemplo.

Passo 2

Análise da sentença I:
“Se x^2 - 2y ;>; 16 + (-4) ;=; 12 e , então .”
  1. Teoria aplicada: se queremos que seja sempre maior que 12 dando e , a gente pode achar o menor valor possível de dentro dessas restrições.
  2. Como , o menor valor de é algo maior que . Logo .
  3. Como , o maior valor de (pois é negativo de ) é algo maior que . Logo .
  4. Somando as duas:
Não dá pra chegar exatamente em 12 (porque as desigualdades são estritas), mas a soma fica sempre acima de 12. Conclusão: I é verdadeira.

Passo 3

Análise da sentença II:
“Se x^2 - 2y ;=; 5^2 - 2cdot100 ;=; 25 - 200 ;=; -175, ou , então .”
  1. Agora o “ou” é inclusivo: basta que uma das condições valha.
  2. Para que a implicação seja falsa, basta achar um caso em que (digamos) mas .
  3. Contraexemplo simples: escolha (que satisfaz ) e (não importa que não satisfaça , porque já temos o “ou”).
  4. Calcula: que é bem menor que 12.
  5. Logo a implicação falha. II é falsa.

Passo 4

Análise da sentença III:
“Se x^2 - 2y = 0 - 2cdot(-2) = 4 >0 e , então .”
  1. A condição permite duas faixas de :
    a) , ou
    b) .
  2. Para a implicação ser sempre verdadeira, o resultado tem que ser negativo em ambos os casos.
  3. Se , então é menor que . Como , a soma fica abaixo de . OK.
  4. Mas se , então é positivo e maior que . Mesmo que seja quase zero, fica acima de , ou seja, positivo.
  5. Contraexemplo rápido: (ok, ), (ok, ). Falhou. III é falsa.

Resposta

Apenas a sentença I é verdadeira. Portanto a resposta é a) apenas I.

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