Exercício 1 Suponha que você deposite k reais em um banco X, que oferece um ganho de 10 % de juros anuais sobre o saldo ao final de cada ano.
3. Prove rigorosamente ou forneça evidências suficientes de que f não é limitada superiormente. Explique o significado disso no contexto do problema.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, ao depositar k reais com juros de 10% ao ano, a função de saldo f(n)=kcdot1.1^n não é limitada superiormente. O conteúdo envolve sequência geométrica (crescimento exponencial) e definição de função limitada superiormente.

Passo 2

Uma função fcolonNtoR é limitada superiormente se existe M>0 tal que f(n)<= M para todo n. Como temos base 1.1>1, sabemos pela teoria de limites de sequências que 1.1^nto+infty, ou seja, pode ultrapassar qualquer valor fixo.

Passo 3

Para tornar rigoroso, seja M>0 arbitrário. Queremos n tal que f(n)>M. Começamos por
kcdot1.1^n>Mimplies1.1^n>Mk
Como ln(1.1)>0, tomando logaritmo natural,
n>ln(M/k)ln(1.1)
Basta escolher por exemplo n=lceilln(M/k)/ln(1.1)rceil+1 para garantir f(n)>M. Isso mostra que não há M atuando como limite superior.

Passo 4

Logo, f(n)=kcdot1.1^n não é limitada superiormente. No contexto financeiro, significa que, mantendo o dinheiro investido tempo suficiente, o saldo pode crescer além de qualquer valor fixo.

Resposta

A função f(n)=kcdot1.1^n não é limitada superiormente. Isso quer dizer que, dado qualquer valor alvo, basta esperar anos suficientes para que o saldo ultrapasse esse valor.

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