Exercício 1 Suponha que você deposite
reais em um banco
, que oferece um ganho de
de juros anuais sobre o saldo ao final de cada ano.
3. Prove rigorosamente ou forneça evidências suficientes de que f não é limitada superiormente. Explique o significado disso no contexto do problema.
3. Prove rigorosamente ou forneça evidências suficientes de que f não é limitada superiormente. Explique o significado disso no contexto do problema.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, ao depositar
reais com juros de
ao ano, a função de saldo
não é limitada superiormente. O conteúdo envolve sequência geométrica (crescimento exponencial) e definição de função limitada superiormente.
Passo 2
Uma função
é limitada superiormente se existe
tal que
para todo
. Como temos base
, sabemos pela teoria de limites de sequências que
, ou seja, pode ultrapassar qualquer valor fixo.
Passo 3
Para tornar rigoroso, seja
arbitrário. Queremos
tal que
. Começamos por
Como
Basta escolher por exemplo
para garantir
. Isso mostra que não há
atuando como limite superior.
Passo 4
Logo,
não é limitada superiormente. No contexto financeiro, significa que, mantendo o dinheiro investido tempo suficiente, o saldo pode crescer além de qualquer valor fixo.
Resposta
A função
não é limitada superiormente. Isso quer dizer que, dado qualquer valor alvo, basta esperar anos suficientes para que o saldo ultrapasse esse valor.