Se
e
, então as equações
são chamadas de equações de Cauchy-Riemann. Mostre que as equações de Cauchy-Riemann estão satisfeitas se
Passo 1
O enunciado pede para a gente verificar que as funções
u(x,y)=\tfrac12\ln\bigl(x2+y2\bigr) e v(x,y)=\operatorname{tg}^{-1}\tfrac yx satisfazem as equações de Cauchy-Riemann
e
. Esse conteúdo envolve derivadas parciais e a definição das equações de Cauchy-Riemann para uma função de variável complexa.
u(x,y)=\tfrac12\ln\bigl(x2+y2\bigr) e v(x,y)=\operatorname{tg}^{-1}\tfrac yx satisfazem as equações de Cauchy-Riemann
Passo 2
Vamos calcular primeiro as derivadas parciais de u. Como
u=\tfrac12\ln\bigl(x2+y2\bigr), podemos usar a regra da cadeia:
u=\tfrac12\ln\bigl(x2+y2\bigr), podemos usar a regra da cadeia:
u_x=\tfrac12\cdot\frac{1}{x2+y2}\cdot 2x=\frac{x}{x2+y2},
u_y=\tfrac12\cdot\frac{1}{x2+y2}\cdot 2y=\frac{y}{x2+y2}.
u_y=\tfrac12\cdot\frac{1}{x2+y2}\cdot 2y=\frac{y}{x2+y2}.
Passo 3
Agora calculamos as derivadas parciais de v. Lembrando que v=\operatorname{tg}^{-1}(y/x) e que (\tg{-1})’=1/(1+w2):
Para w=y/x,
v_x=\frac{1}{1+(y/x)2}\cdot\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr)=\frac{1}{1+(y/x)2}\cdot\bigl(-\frac{y}{x^2}\bigr)= -\frac{y/x2}{(x2+y2)/x2}= -\frac{y}{x2+y2},
v_y=\frac{1}{1+(y/x)2}\cdot\frac{d}{dy}\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr)=\frac{1}{1+(y/x)2}\cdot\frac{1}{x}=\frac{1/x}{(x2+y2)/x2}=\frac{x}{x2+y^2}.
Passo 4
Agora é só comparar:
u_x=\frac{x}{x2+y2} e v_y=\frac{x}{x2+y2} \quad⇒\quad u_x=v_y,
v_x=-\frac{y}{x2+y2} e u_y=\frac{y}{x2+y2} \quad⇒\quad v_x=-u_y.
Portanto, as equações de Cauchy-Riemann estão satisfeitas.
Resposta
As equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas porque mostramos que
e
.