Se g(x)=x^5, então lim x 2 g(x)-g(2)x-2=80.

Passo 1

O enunciado nos dá a função g(x)=x^5 e pede o valor do limite
limxto2g(x)-g(2)x-2
Esse tipo de limite é justamente a definição da derivada de g em x=2. Para resolver precisamos usar a fatoração de diferença de potências ou diretamente a regra da derivada de x^n.

Passo 2

Vamos usar a fatoração da diferença de quintas potências. Sabemos que
a^5 - b^5 = (a-b)l(a^4 + a^3b + a^2b^2 + a,b^3 + b^4r)
Tomando a=x e b=2, obtemos
x^5 - 2^5 = (x-2)l(x^4 + 2x^3 + 4x^2 + 8x + 16r)

Passo 3

Substituindo na expressão do limite, temos
g(x)-g(2)x-2 = x^5 - 2^5x-2 = x^4 + 2x^3 + 4x^2 + 8x + 16
Agora basta tomar xto2 nessa soma de termos polinomiais.

Passo 4

Ao substituir x=2 em cada termo, encontramos
2^4 = 16, 2cdot2^3 = 16, 4cdot2^2 = 16, 8cdot2 = 16, 16 = 16,
então a soma é
16 + 16 + 16 + 16 + 16 = 80

Resposta

80

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