Utilizando a definição, determine a transformada de Laplace das funções abaixo e compare com a tábua de transformadas:
f(x)=cos b x

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função cos(bx) usando a definição
Lf(x)(s)=integral0^inftye^-sxf(x),dx
para f(x)=cos(bx). O conteúdo é a transformada de Laplace e vamos precisar de integração por partes para avaliar o integral impropriamente.

Passo 2

Escrevemos a definição para f(x)=cos(bx):
I=Lcos(bx)(s) =integral0^inftye^-sxcos(bx),dx

Passo 3

Para calcular I, aplicamos integração por partes duas vezes. Primeiro definimos
u=cos(bx), dv=e^-sx,dx
que dá
du=-bsin(bx),dx, v=-1se^-sx
Assim
I =l[-e^-sxcos(bx)sr]0^infty +bsintegral0^inftye^-sxsin(bx),dx =1s-bsJ,
onde definimos
J=integral0^inftye^-sxsin(bx),dx

Passo 4

Agora avaliamos J por partes com
u=sin(bx), dv=e^-sx,dx
que leva a
du=bcos(bx),dx, v=-1se^-sx
e, como os termos de fronteira desaparecem,
J =bsintegral0^inftye^-sxcos(bx),dx =bsI
Substituindo em I=1s-bsJ resulta
I=1s-bscdotbsI Longrightarrow Il(1+b^2s^2r)=1s Longrightarrow I=ss^2+b^2

Passo 5

Comparando com a tábua de transformadas, vemos que
Lcos(bx)(s)=ss^2+b^2,
o que coincide exatamente com a fórmula padrão para cos(bx), válida para Re(s)>0.

Resposta

Lcos(bx)(s)=ss^2+b^2, Re(s)>0

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