A tarefa que vou desenvolver é: decidir se essa igualdade é verdadeira para todo x; se não for, encontrar a expressão correta para \dfrac{d}{dx}\left|x^{2}+x\right|, indicar onde a derivada existe ou não, e identificar os pontos ou intervalos em que a igualdade dada é válida. Informações dadas (já implícitas no enunciado):
A função dentro do valor absoluto é \;u(x)=x^{2}+x\;=\;x(x+1).
A derivada de u é \;u'(x)=2x+1.
Passo 2
Regra básica (aulas rápidas): derivada do valor absoluto de uma função.
Se u(x)\) for uma função diferenciável e \(u(x)\neq0\) em um ponto, então
\[\frac{d}{dx}|u(x)| = u'(x)\,\operatorname{sgn}(u(x)),
Explicação simples: |u|=u\] quando \(u>0 e |u|=-u quando u<0. Derivando peça a peça dá u' ou -u', o que é compactado por u'\operatorname{sgn}(u). Em pontos onde u(x)=0 é preciso analisar as derivadas laterais; muitas vezes a derivada de |u| não existe nesses pontos (ex.: se o sinal de u muda de um lado para o outro).]
Passo 3
Aplicando a regra ao nosso caso: u(x)=x^{2}+x e u'(x)=2x+1. Para x tal que u(x)\neq0 obtemos
Escrevendo a derivada de forma explícita por partes (para x\neq-1,0\)):
\[\frac{d}{dx}\left|x^{2}+x\right|= \begin{cases} 2x+1, & x\in(-\infty,-1),\\[4pt] -(2x+1), & x\in(-1,0),\\[4pt] 2x+1, & x\in(0,\infty). \end{cases}
Nos pontos x=-1\] e \(x=0 devemos verificar a existência da derivada. Como x^{2}+x muda de sinal em ambos os pontos, a função |x^{2}+x| tem um “canto” (cúspide) aí, logo a derivada não existe em x=-1 e em x=0.]
Passo 5
Agora compare com o lado direito |2x+1|\). Observe que
\[|2x+1| = \begin{cases} -(2x+1), & x<-\tfrac12,\\[4pt] 2x+1, & x\ge -\tfrac12. \end{cases}
Queremos saber para que x\] vale
\[(2x+1)\,\operatorname{sgn}(x^{2}+x)=|2x+1|.\]
Isto acontece quando \(\operatorname{sgn}(x^{2}+x)=\operatorname{sgn}(2x+1) (ou então quando 2x+1=0, caso especial). Vamos checar intervalos:
Para x<-1: \operatorname{sgn}(x^{2}+x)=1 e \operatorname{sgn}(2x+1)=-1 (pois x<-1<-\tfrac12). Sinais diferentes → igualdade NÃO vale.
Para -1<x<-\tfrac12: \operatorname{sgn}(x^{2}+x)=-1 e \operatorname{sgn}(2x+1)=-1. Sinais iguais → igualdade vale.
Em x=-\tfrac12: 2x+1=0. A derivada existe aí (é zero) e |2x+1|=0, então a igualdade vale em x=-\tfrac12.
Para -\tfrac12<x<0: \operatorname{sgn}(x^{2}+x)=-1 e \operatorname{sgn}(2x+1)=+1. Sinais diferentes → igualdade NÃO vale.
Para x>0: \operatorname{sgn}(x^{2}+x)=+1 e \operatorname{sgn}(2x+1)=+1. Sinais iguais → igualdade vale.
Nos pontos x=-1 e x=0 a derivada de |x^{2}+x| não existe, então a igualdade também não é válida nesses pontos (não faz sentido comparar derivadas).
Portanto a igualdade proposta não é verdadeira para todo x; ela é verdadeira apenas em
x\in(-1,-\tfrac12]\cup(0,\infty),
e em nenhum dos pontos x=-1,0 (derivada inexistente).]
Passo 6
Exemplo concreto (contraexemplo) para fixar: tome x=-2. Então
x^{2}+x = 4-2=2>0,\qquad 2x+1=-4+1=-3.
Pela expressão correta, \dfrac{d}{dx}|x^{2}+x|=2x+1=-3 em x=-2. Mas |2x+1|=3. Logo -3\neq3: a igualdade do enunciado falha em x=-2. Isso mostra de forma direta que a igualdade proposta não é válida para todo x.
Resposta
A igualdade é falsa em geral. \displaystyle \frac{d}{dx}\left|x^{2}+x\right|=(2x+1)\,\operatorname{sgn}\bigl(x^{2}+x\bigr) para x\neq-1,0.
A derivada não existe em x=-1 e em x=0.
A igualdade \dfrac{d}{dx}|x^{2}+x|=|2x+1| vale somente para x\in(-1,-\tfrac12]\cup(0,\infty).