- Se
, então prove que
.
- Prove que:
(a)
(a)
Passo 1
Enunciado resumido e conteúdo: temos duas questões de somatórios infinitos. Na questão 27, precisamos provar que para uma sequência real f(n) que converge para L vale
. O conteúdo aqui é soma telescópica e limite de sequências. Na questão 28(a), temos a série
que é soma de duas progressões geométricas; vamos usar a fórmula da soma infinita de PG quando a razão tem módulo menor que 1.
Passo 2
Prova da soma telescópica (questão 27): considere a soma parcial até N,
. Desenvolvendo termos sucessivos, vemos que
Passo 3
Como
, temos
. Logo, tomando
,
Passo 4
Cálculo da série geométrica (questão 28a): separemos
Passo 5
Cada soma é uma PG infinita com primeiro termo
e razão
, cujo valor é
. Assim, para
temos
Passo 6
e para
Passo 7
Somando as duas, obtemos
.
Resposta
Para a questão 27:
. Para a questão 28(a):