1. Se f(n) L, então prove que sumn=1^+infty[f(n)-f(n+1)]=f(1)-L.
  2. Prove que:
    (a) sumk=1^+infty 3^k+5^k15^k=34

Passo 1

Enunciado resumido e conteúdo: temos duas questões de somatórios infinitos. Na questão 27, precisamos provar que para uma sequência real f(n) que converge para L vale sumn=1^+infty[f(n)-f(n+1)] = f(1)-L. O conteúdo aqui é soma telescópica e limite de sequências. Na questão 28(a), temos a série sumk=1^+infty3^k+5^k15^k que é soma de duas progressões geométricas; vamos usar a fórmula da soma infinita de PG quando a razão tem módulo menor que 1.

Passo 2

Prova da soma telescópica (questão 27): considere a soma parcial até N, SN = sumn=1^N[f(n)-f(n+1)]. Desenvolvendo termos sucessivos, vemos que
SN = (f(1)-f(2)) + (f(2)-f(3)) + cdots + (f(N)-f(N+1)) = f(1) - f(N+1)

Passo 3

Como f(n) to L, temos f(N+1) to L. Logo, tomando Nto+infty,
sumn=1^+infty[f(n)-f(n+1)] = limNtoinftySN = f(1)-L

Passo 4

Cálculo da série geométrica (questão 28a): separemos
sumk=1^+infty3^k+5^k15^k = sumk=1^+inftyl(315r)^k + sumk=1^+inftyl(515r)^k = sumk=1^+inftyl(15r)^k + sumk=1^+inftyl(13r)^k

Passo 5

Cada soma é uma PG infinita com primeiro termo a=r e razão r, cujo valor é a/(1-r). Assim, para r=1/5 temos
sumk=1^+inftyl(15r)^k = 151-15 = 1/54/5 = 14,

Passo 6

e para r=1/3
sumk=1^+inftyl(13r)^k = 131-13 = 1/32/3 = 12

Passo 7

Somando as duas, obtemos 1/4 + 1/2 = 3/4.

Resposta

Para a questão 27: sumn=1^+infty[f(n)-f(n+1)] = f(1)-L. Para a questão 28(a): sumk=1^+infty3^k+5^k15^k = 34

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