Esboce a região de integração e escreva uma integral dupla equivalente com a ordem de integração invertida.
integral0^2 integral0^4-y^2 d y d x

Passo 1

O enunciado diz para esboçar a região de integração dada pela integral original e depois inverter a ordem de integração. O conteúdo é troca de ordem de integração em integrais duplas, e vamos precisar reconhecer os limites em termos de desigualdades e depois reexpressar esses limites com as variáveis trocadas.

Passo 2

A integral original, apesar de escrita como integral0^2 integral0^4 - y^2 ,dy,dx, faz mais sentido como integral0^2 l(integral0^4 - y^2 dxr) dy. Isso define a região
R = (x,y)mid 0 <= y <= 2,;0 <= x <= 4 - y^2

Passo 3

Para esboçar, note que a fronteira curva é dada por x = 4 - y^2. No primeiro quadrante, isso equivale ao ramo superior da parábola y = raiz4 - x, que vai de y=0 (em x=4) até y=2 (em x=0). A região é tudo entre essa curva e os eixos.

Passo 4

Para inverter a ordem, projetamos R no eixo x. Vemos que x varia do mínimo 0 (quando y=2) até o máximo 4 (quando y=0). Para cada x fixo em [0,4], o y vai de 0 até a curva y = raiz4 - x. Assim a integral equivalente é
integralx=0^4 integraly=0^raiz4 - x dy,dx

Resposta

integral0^4 integral0^raiz4 - x dy,dx

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