Esboce a região de integração e escreva uma integral dupla equivalente com a ordem de integração invertida.
Passo 1
O enunciado diz para esboçar a região de integração dada pela integral original e depois inverter a ordem de integração. O conteúdo é troca de ordem de integração em integrais duplas, e vamos precisar reconhecer os limites em termos de desigualdades e depois reexpressar esses limites com as variáveis trocadas.
Passo 2
A integral original, apesar de escrita como
, faz mais sentido como
. Isso define a região
Passo 3
Para esboçar, note que a fronteira curva é dada por
. No primeiro quadrante, isso equivale ao ramo superior da parábola
, que vai de
(em
) até
(em
). A região é tudo entre essa curva e os eixos.
Passo 4
Para inverter a ordem, projetamos
no eixo
. Vemos que
varia do mínimo 0 (quando
) até o máximo 4 (quando
). Para cada
fixo em
, o
vai de 0 até a curva
. Assim a integral equivalente é