Calcule integral duplaD x y d A, onde D é a região delimitada pelas retas y=x, y=2 x e x+y=2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral dupla integral duplaD x y , dA onde a região D é delimitada pelas retas y = x, y = 2x e x + y = 2. Vamos precisar saber sobre integrais duplas, como identificar os limites de integração e como calcular a área dessa região.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região D. Temos três retas:
  1. y = x
  2. y = 2x
  3. x + y = 2
Vamos encontrar os pontos de intersecção dessas retas para delimitar a área.

Passo 3

Vamos resolver as intersecções:
  • Entre y = x e y = 2x:
    x = 2x Rightarrow x = 0 Rightarrow y = 0
    Ponto: (0,0)
  • Entre y = x e x + y = 2:
    Substituindo y = x na última equação:
    x + x = 2 Rightarrow 2x = 2 Rightarrow x = 1 Rightarrow y = 1
    Ponto: (1,1)
  • Entre y = 2x e x + y = 2:
    Substituindo y = 2x na última equação:
    x + 2x = 2 Rightarrow 3x = 2 Rightarrow x = 23 Rightarrow y = 43
    Ponto: (23, 43)

Passo 4

Agora que temos os pontos de interseção, podemos desenhar ou imaginar a região D. Ela é um triângulo com vértices em (0,0), (1,1) e (23, 43).

Passo 5

Precisamos decidir a ordem de integração. Vamos integrar primeiro em x e depois em y. Para isso, vamos expressar x em função de y.
Das retas y = x e y = 2x, resolvemos para x:
  • y = x Rightarrow x = y
  • y = 2x Rightarrow x = y2
A reta x + y = 2 pode ser escrita como y = 2 - x.

Passo 6

Determinar os limites de integração:
  • y varia de 0 a 2
  • Para cada y, x varia de y2 a y

Passo 7

Agora, configuramos a integral dupla:
integraly=0^2 integralx=y2^x=y x y , dx , dy

Passo 8

Vamos resolver a integral interna em relação a x:
integraly2^y x y , dx = y integraly2^y x , dx = y [ x^22 ]y2^y = y ( y^22 - (y2)^22 )
Simplificando:
y ( y^22 - y^28 ) = y ( 4y^28 - y^28 ) = y ( 3y^28 ) = 3y^38

Passo 9

Agora, integramos a função resultante em relação a y:
integral0^2 3y^38 , dy = 38 integral0^2 y^3 , dy = 38 [ y^44 ]0^2 = 38 ( 164 - 0 ) = 38 times 4 = 128 = 32

Resposta

A integral dupla integral duplaD x y , dA vale 32.

Exercícios relacionados