Calcule
, onde
é a região delimitada pelas retas
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral dupla
onde a região
é delimitada pelas retas
,
e
. Vamos precisar saber sobre integrais duplas, como identificar os limites de integração e como calcular a área dessa região.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
. Temos três retas:
Vamos encontrar os pontos de intersecção dessas retas para delimitar a área.
Passo 3
Vamos resolver as intersecções:
- Entre
e :
Ponto: - Entre
e :
Substituindona última equação:
Ponto: - Entre
e :
Substituindona última equação:
Ponto:
Passo 4
Agora que temos os pontos de interseção, podemos desenhar ou imaginar a região
. Ela é um triângulo com vértices em
,
e
.
Passo 5
Precisamos decidir a ordem de integração. Vamos integrar primeiro em
e depois em
. Para isso, vamos expressar
em função de
.
Das retas
e
, resolvemos para
:
A reta
pode ser escrita como
.
Passo 6
Determinar os limites de integração:
-
varia de a - Para cada
, varia de a
Passo 7
Agora, configuramos a integral dupla:
Passo 8
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Simplificando:
Passo 9
Agora, integramos a função resultante em relação a
:
Resposta
A integral dupla
vale
.