- O que se entende para filtro? Quantas tipologias de filtro podem ser obtidas combinandos resistores, capacitores e indutores?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras: (1) uma definição do que se entende por um filtro; (2) quantas tipologias de filtro podem ser obtidas combinando resistores, capacitores e indutores.
Informações dadas pelo enunciado: podemos usar apenas resistores, capacitores e indutores para formar filtros. Não há outra restrição explícita (por exemplo, se admite amplificadores ativos ou não), então considerarei primeiro o caso passivo (apenas ) e depois comentarei brevemente o caso com elementos ativos.
Informações dadas pelo enunciado: podemos usar apenas resistores, capacitores e indutores para formar filtros. Não há outra restrição explícita (por exemplo, se admite amplificadores ativos ou não), então considerarei primeiro o caso passivo (apenas
Passo 2
O que é um filtro (definição e conceito fundamental).
Um filtro é um circuito cujo objetivo é deixar passar certas faixas de frequência do sinal de entrada e atenuar (ou alterar) outras faixas. Em linguagem técnica usamos a função de transferência
Um filtro é um circuito cujo objetivo é deixar passar certas faixas de frequência do sinal de entrada e atenuar (ou alterar) outras faixas. Em linguagem técnica usamos a função de transferência
onde
é a pulsação angular (
). O comportamento de interesse é a resposta em frequência, isto é,
(ganho em cada frequência) e
(fase). Termos importantes: faixa de passagem (passband), faixa de rejeição (stopband), frequência de corte (cutoff) e ressonância (quando existir).
Passo 3
Como resistores, capacitores e indutores dependem da frequência (intuição e fórmulas).
- Resistor: impedância
. Não depende de . - Capacitor: impedância
. Intuição: para (DC) (abre) e para (curto). - Indutor: impedância
. Intuição: para (curto) e para (abre).
Essas propriedades básicas (capacitor bloqueia DC, indutor passa DC e bloqueia altas frequências) são a chave para construir filtros com comportamento diferente em baixas e altas frequências.
Passo 4
Filtros de primeira ordem com
e
(exemplos concretos e fórmulas).
- Passa-baixa RC (topologia simples): resistor em série com a entrada e capacitor para o terra no nó de saída. A função de transferência é
Explicação passo a passo: o divisor de tensão entre
e
dá
. Substituindo
obtemos a expressão acima. A frequência de corte (pulsação) é
quando
do ganho em baixa frequência. Para
o capacitor é aberto e
(passa); para
o capacitor é curto e
(sério atenuação).
- Passa-alta RC: trocando a ordem (capacitor em série e resistor para terra no nó de saída) obtemos
Aqui para
o capacitor bloqueia e
; para
o capacitor atua como curto e
. Esses dois exemplos mostram como, só com
e
, já conseguimos passa-baixa e passa-alta de primeira ordem.
Passo 5
Filtros de primeira ordem com
e
(analogia com RC).
Pelo mesmo raciocínio, trocando por
(usando
) conseguimos topologias RL que se comportam como passa-baixa ou passa-alta dependendo de onde extraímos a saída. Por exemplo, série
seguido de
e saída em
dá
Pelo mesmo raciocínio, trocando
que tem frequência de corte
Intuição: para
o indutor é curto e
(passa-baixa), para
o indutor vira alto impedância e
. Invertendo posições obtemos configurações passa-alta.
Passo 6
Filtros de segunda ordem: passa-banda e rejeita-banda com
(ressonância).
Com podemos construir circuitos ressonantes cuja resposta em frequência tem pico em uma frequência central ou uma nulidade em uma frequência específica. Dois exemplos clássicos:
Com
- Série RLC alimentada e saída em
(ou em um resistor série): aparece um comportamento passa-banda em torno da frequência de ressonância dada por
A largura da banda e o fator de qualidade
dependem de
. Intuição: na ressonância a impedância série mínima faz a corrente ser máxima, logo a tensão no elemento de saída (por exemplo
) é máxima => passa-banda.
- Paralelo RLC (ou série com saída nos terminais do par LC) pode gerar uma rejeita-banda (notch) se na ressonância a impedância vista pelo circuito se torna muito alta (ou muito baixa), produzindo uma atenuação marcada na frequência
.
Conclusão: com topologias RLC de ordemobtemos passa-banda e rejeita-banda (notch) centrados em .
Passo 7
Resumo prático das tipologias básicas obtidas com
.
Com combinações de (sem elementos ativos) podemos obter as quatro tipologias clássicas de filtros passivos:
Com combinações de
Cada uma pode ser de primeira ordem (quando usamos apenas um elemento reativo) ou de ordem maior (quando usamos mais de um indutor/capacitor ou topologias ressonantes), o que afeta a inclinação da atenuação e características como a ondulação e o fator
. Existem muitas variações (filtros de resposta Butterworth, Chebyshev, elliptic, etc.), mas essas são arquiteturas de projeto — a tipologia essencial continua sendo as quatro listadas.
Passo 8
Observação sobre filtros passa-tudo (all-pass) e uso de elementos ativos.
Existe o conceito de filtro passa-tudo (all-pass), cujo módulo é aproximadamente constante enquanto a fase varia com a frequência. Projetos típicos de all-pass usuais na prática costumam empregar elementos ativos (amplificadores operacionais) para obter resposta de fase desejada sem alterar magnitude. Alguns circuitos passivos complexos podem aproximar comportamento all-pass em faixas limitadas, mas, em termos didáticos e prático-experimental, ao falar estritamente de combinações simples de
normalmente contamos as quatro tipologias passivas principais do passo anterior.
Existe o conceito de filtro passa-tudo (all-pass), cujo módulo
Resposta
Um filtro é um circuito que modifica a amplitude e/ou fase de um sinal em função da frequência, deixando passar certas faixas (passband) e atenuando outras (stopband); matematicamente caracteriza-se pela função de transferência
.\n
Combinando apenas resistores, capacitores e indutores (caso passivo) obtêm-se essencialmente tipologias: passa-baixa, passa-alta, passa-banda e rejeita-banda (notch).
Combinando apenas resistores, capacitores e indutores (caso passivo) obtêm-se essencialmente