1. Escreva a função de transferência do circuito RL.
    a)Determine o valor da frequência de corte do circuito RL.
    b)O circuito RL se comporta como passa baixa quando se considera o sinal na extremidade do indutor ou resistor?

Passo 1

O enunciado pede três coisas sobre um circuito RL em série com a entrada aplicada às duas extremidades da associação R–L e o “sinal na extremidade” podendo ser tomado no resistor ou no indutor:
  1. Escrever a função de transferência do circuito.
  2. Determinar a frequência de corte do circuito.
  3. Dizer se o circuito se comporta como passa-baixa quando o sinal é medido na extremidade do indutor ou do resistor.
Informações relevantes (que o enunciado supõe ou que adotamos como padrão para este problema):
  • Há um resistor de resistência R e um indutor de indutância L ligados em série.
  • A tensão de entrada é V_{\text{in}} aplicada aos terminais da série R e L.
  • O sinal de saída pode ser tomado em duas posições: na queda de tensão do resistor (saída no resistor) ou na queda de tensão do indutor (saída no indutor).
  • Não foram dados valores numéricos de R e L, logo trabalharemos com expressões simbólicas em função de R e L.

Passo 2

Vamos montar a função de transferência usando impedâncias no domínio de Laplace (s‑domínio). Primeiro as peças básicas:
  • Impedância do resistor: \;Z_R = R.
    Explicação: o resistor tem mesma impedância em todas as frequências; R é medido em ohms ( \Omega).
  • Impedância do indutor no s‑domínio: \;Z_L = sL.
    Explicação: s é a variável complexa do domínio de Laplace ( s=\sigma + j\omega); para análise em regime senoidal estacionário, usamos s = j\omega. A unidade de L é henry (H), então sL tem unidade de ohms.
Como os componentes estão em série, podemos usar o divisor de tensão para escrever a saída (tensão sobre um dos elementos) em função da entrada. A definição da função de transferência é
H(s)=\frac{V_{\text{out}}(s)}{V_{\text{in}}(s)}.
Saída no resistor: aplicando divisor de tensão,
H_R(s)=\frac{Z_R}{Z_R+Z_L}=\frac{R}{R+sL}.
Expliquei: V_R = V_{\text{in}}\cdot\frac{R}{R+sL}, então H_R(s)=R/(R+sL).
Saída no indutor: de forma análoga,
H_L(s)=\frac{Z_L}{Z_R+Z_L}=\frac{sL}{R+sL}.
Essas duas expressões são as funções de transferência simbólicas desejadas. Vou agora transformar e interpretar essas fórmulas de forma que você consiga usá‑las facilmente na prova.

Passo 3

Coloque as funções em uma forma padrão de primeiro ordem para enxergar o polo e a constante de tempo. Divida numerador e denominador por R:
Para o resistor:
H_R(s)=\frac{R}{R+sL}=\frac{1}{1 + s\displaystyle\frac{L}{R}}.
Definimos a constante de tempo
\displaystyle \tau=\frac{L}{R}.
Assim
H_R(s)=\frac{1}{1+s\tau}.
Explicação didática: esta é a forma típica de um sistema de 1ª ordem com polo em s=-1/\tau. Em regime senoidal substituímos s=j\omega para analisar frequência.
Para o indutor:
H_L(s)=\frac{sL}{R+sL}=\frac{s\displaystyle\frac{L}{R}}{1+s\displaystyle\frac{L}{R}}=\frac{s\tau}{1+s\tau}.
Essa é a forma padrão de um diferenciador suavizado (alta frequência passa).

Passo 4

Agora vamos achar a frequência de corte (ponto em que a magnitude cai a \tfrac{1}{\sqrt{2}} do ganho de referência). Primeiro analisamos o caso do resistor (a conclusão será idêntica para o indutor quanto à frequência de corte). Use s=j\omega.
Magnitude da função no resistor:
\left|H_R(j\omega)\right|=\left|\frac{R}{R+j\omega L}\right|=\frac{R}{\sqrt{R^2+(\omega L)^2}}.
Definição prática de frequência de corte (ponto −3 dB): a frequência \omega_c que satisfaz
\left|H_R(j\omega_c)\right|=\frac{1}{\sqrt{2}}\left|H_R(0)\right|.
Aqui \left|H_R(0)\right|=1 (já que em \omega=0, H_R(0)=R/(R+0)=1). Então colocamos
\frac{R}{\sqrt{R^2+(\omega_c L)^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}.
Eleva ao quadrado e resolve:
\frac{R^2}{R^2+(\omega_c L)^2}=\frac{1}{2} \quad\Rightarrow\quad 2R^2=R^2+(\omega_c L)^2
(\omega_c L)^2=R^2 \quad\Rightarrow\quad \omega_c=\frac{R}{L}.
Portanto a frequência angular de corte é
\boxed{\omega_c=\frac{R}{L}}.
A frequência em hertz (ciclos por segundo) é
\boxed{f_c=\frac{\omega_c}{2\pi}=\frac{R}{2\pi L}}.
Observação: para H_L(j\omega) a magnitude é
\left|H_L(j\omega)\right|=\frac{\omega L}{\sqrt{R^2+(\omega L)^2}},
e se você fizer \left|H_L(j\omega_c)\right|=1/\sqrt{2} obtém exatamente o mesmo \omega_c=R/L. Ou seja, ambos os pontos (saída no R ou no L) têm a mesma frequência de corte do sistema série RL; o que muda é se essa saída passa ou bloqueia baixas/altas frequências.

Passo 5

Interpretação física intuitiva (útil na prova e para decorar):
  • Em baixas frequências ( \omega\to0): a impedância do indutor j\omega L é pequena (indutor se comporta como um curto relativo), então a maior parte da tensão fica sobre o resistor. Logo a saída no resistor tende a passar as baixas frequências sem atenuação ( H_R(0)=1). A saída no indutor tende a zero ( H_L(0)=0). Conclusão: saída no resistor = passa‑baixa.
  • Em altas frequências ( \omega\to\infty): a impedância do indutor cresce muito ( j\omega L grande), então a maior parte da tensão aparece no indutor. A saída no indutor tende a 1 ( H_L(\infty)=1), enquanto a saída no resistor tende a 0 ( H_R(\infty)=0). Conclusão: saída no indutor = passa‑alta.
Uma forma rápida de memorizar: em série, o elemento que tem impedância crescente com \omega (o indutor) concentra tensão em altas frequências -> saída sobre o indutor é passa‑alta; a outra extremidade (resistor) fica passa‑baixa.

Passo 6

Resumo prático que você pode escrever rápido na prova:
  • Funções de transferência:
H_R(s)=\frac{R}{R+sL}=\frac{1}{1+s\displaystyle\frac{L}{R}}, \qquad H_L(s)=\frac{sL}{R+sL}=\frac{s\displaystyle\frac{L}{R}}{1+s\displaystyle\frac{L}{R}}.
  • Constante de tempo e polo:
\tau=\frac{L}{R},\qquad \text{polo em } s=-\frac{1}{\tau}=-\frac{R}{L}.
  • Frequência de corte:
\omega_c=\frac{R}{L},\qquad f_c=\frac{R}{2\pi L}.
  • Comportamento de passa: saída no resistor = passa‑baixa; saída no indutor = passa‑alta.
Vai dar certo — decore as formas padrão 1/(1+s\tau) e s\tau/(1+s\tau) e o resto sai na unha na prova.

Resposta

H_R(s)=\dfrac{R}{R+sL}=\dfrac{1}{1+s\dfrac{L}{R}} \
H_L(s)=\dfrac{sL}{R+sL}=\dfrac{s\dfrac{L}{R}}{1+s\dfrac{L}{R}} \
\omega_c=\dfrac{R}{L}, \;f_c=\dfrac{R}{2\pi L} \
Saída no resistor: passa‑baixa. \
Saída no indutor: passa‑alta.

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