Ar entra em um compressor a 14 psia, a 80 F , com velocidade desprezível e é descarregado a 70 psia , a 500 F , com a velocidade de 500 \mathrm{ft} / \mathrm{s}. Se a potência fornecida ao compressor for de 3200 hp e a vazão mássica for 20 \mathrm{lbm} / \mathrm{s}, determine a taxa de transferência de calor. \mathrm{Cp}=0,24 \mathrm{Btu} / \mathrm{lbm}{ }^{\circ} \mathrm{F}. Resp. -146,43 \mathrm{Btu} / \mathrm{s}

Passo 1

O enunciado dá um fluxo de ar através de um compressor em regime estacionário e pede a taxa de transferência de calor (isto é, \dot{Q}). Dados fornecidos (vou listar tudo claramente):
  • Pressão de entrada: \,14\\ \mathrm{psia} (apenas informativo aqui).
  • Temperatura de entrada: \,80^\circ\mathrm{F}.
  • Velocidade de entrada: desprezível (vou tomar V_1\approx 0\\ \mathrm{ft/s}).
  • Pressão de descarga: \,70\\ \mathrm{psia} (apenas informativo aqui).
  • Temperatura de descarga: \,500^\circ\mathrm{F}.
  • Velocidade de descarga: \,500\\ \mathrm{ft/s}.
  • Potência fornecida ao compressor (trabalhada sobre o fluido): \,3200\\ \mathrm{hp}.
  • Vazão mássica: \,\dot{m}=20\\ \mathrm{lbm/s}.
  • Calor específico a pressão constante: \,C_p=0{,}24\\ \mathrm{Btu/(lbm\cdot^\circ F)}.
O que se pede: calcular \dot{Q}, a taxa de calor (em \mathrm{Btu/s}), com sinal (valor negativo significa que o fluido perde calor, positivo que recebe calor).

Passo 2

Escolhemos a equação de energia para escoamento estacionário (controle envolvendo o compressor). A forma conveniente, usando trabalho de eixo como entrada positiva, é:
\dot{Q} + \dot{W}_{\text{in}} \;=\; \dot{m}\left(h_2-h_1 + \frac{V_2^2-V_1^2}{2} + g(z_2-z_1)\right).
Explicando cada termo:
  • \dot{Q} é a taxa de calor adicionada ao fluido (o que queremos).
  • \dot{W}_{\text{in}} é a potência fornecida ao fluido (trabalho de eixo, positivo se fazemos trabalho sobre o fluido). Aqui \dot{W}_{\text{in}}=3200\\ \mathrm{hp}.
  • \dot{m} é a vazão mássica.
  • h é a entalpia específica (Btu/lbm).
  • \frac{V^2}{2} é a energia cinética específica (em unidades compatíveis).
  • g(z_2-z_1) é a variação de energia potencial (vamos desprezar, não há alturas fornecidas).
    Como V_1 é desprezível e não usaremos elevação, a equação reduz para:
\dot{Q} = \dot{m}\left(h_2-h_1 + \frac{V_2^2}{2}\right) - \dot{W}_{\text{in}}.
Vou calcular cada termo à direita em \mathrm{Btu/s}.

Passo 3

Calcular \Delta h = h_2-h_1. Para ar tratado como gás ideal com C_p constante,
\Delta h = C_p\,(T_2-T_1).
Explicação didática: C_p tem unidade \mathrm{Btu/(lbm\cdot^\circ F)}. Multiplicando por uma diferença de temperatura em ^\circ\mathrm{F} dá entalpia por massa em \mathrm{Btu/lbm}. Aqui:
T_2-T_1 = 500^\circ\mathrm{F}-80^\circ\mathrm{F}=420^\circ\mathrm{F}.
Logo
\Delta h = 0{,}24\cdot 420 = 100{,}8\\ \mathrm{Btu/lbm}.
Taxa associada à vazão mássica:
\dot{m}\,\Delta h = 20\cdot 100{,}8 = 2016\\ \mathrm{Btu/s}.

Passo 4

Calcular a variação da energia cinética por unidade de massa e transformá-la em \mathrm{Btu/lbm}.
Energia cinética específica em unidades consistentes (usando a constante de conversão do sistema inglês):
\text{KE por massa em Btu/lbm}=\frac{V^2}{2\,g_c}\cdot\frac{1\\ \text{ft}\cdot\text{lbf}}{778{,}169\\ \text{ft}\cdot\text{lbf/Btu}},
onde g_c\approx 32{,}174\\ \mathrm{lbm\cdot ft/(lbf\cdot s^2)} e 1\\ \mathrm{Btu}=778{,}169\\ \mathrm{ft\cdot lbf}. Como V_1\approx0,
\frac{V_2^2}{2g_c}\\ \text{(ft·lbf per lbm)} \longrightarrow \text{dividir por }778{,}169\\ \text{para obter Btu/lbm.}
Calculemos numericamente com V_2=500\\ \mathrm{ft/s}:
\frac{V_2^2}{2g_c}=\frac{(500)^2}{2\cdot 32{,}174}=\frac{250000}{64{,}348}\approx 3886{,}46\\ \text{ft}\cdot\text{lbf per lbm}.
Convertendo para \mathrm{Btu/lbm}:
\text{KE específica} \approx \frac{3886{,}46}{778{,}169}\approx 4{,}9949\\ \mathrm{Btu/lbm}.í
Multiplicando pela vazão mássica:
\dot{m}\cdot\text{KE específica} = 20\cdot 4{,}9949 \approx 99{,}898\\ \mathrm{Btu/s}.í

Passo 5

Converter a potência fornecida \dot{W}_{\text{in}}=3200\\ \mathrm{hp} para \mathrm{Btu/s}. Uma conversão prática é
1\\ \mathrm{hp} = 2544{,}4344\\ \mathrm{Btu/h} \quad\Rightarrow\quad 1\\ \mathrm{hp}=\frac{2544{,}4344}{3600}\\ \mathrm{Btu/s}\approx 0{,}706787\\ \mathrm{Btu/s}.
Portanto
\dot{W}_{\text{in}}=3200\cdot 0{,}706787 \approx 2261{,}72\\ \mathrm{Btu/s}.
(Escolhemos esta forma porque relaciona hp com Btu/h, uma conversão padrão.)

Passo 6

Agora montamos a equação e calculamos \dot{Q}:
\dot{Q} = \dot{m}\left(\Delta h + \text{KE específica}\right) - \dot{W}_{\text{in}}.í
Substituindo os valores numéricos:
\dot{m}\Delta h = 2016{,}0\\ \mathrm{Btu/s},
\dot{m}\cdot\text{KE específica} \approx 99{,}898\\ \mathrm{Btu/s},í
soma interna:
\dot{m}(\Delta h + \text{KE}) \approx 2016{,}0 + 99{,}898 = 2115{,}898\\ \mathrm{Btu/s}.
Logo
\dot{Q} \approx 2115{,}898 - 2261{,}72 = -145{,}822\\ \mathrm{Btu/s}.
Arredondando com duas casas decimais e usando vírgula como separador (padrão pt-BR):
\dot{Q}\approx -145{,}82\\ \mathrm{Btu/s}.

Passo 7

Interpretação e checagem rápida: o resultado negativo indica que, apesar do trabalho fornecido ao fluido, o fluido perde calor (ou seja, há perda líquida de energia por calor) — isso pode acontecer dependendo do balanço entre aumento de entalpia+cinética e potência de ejeção/entrada. Os cálculos foram feitos assumindo C_p constante e V_1 desprezível, como dado. Mantenha calma — a metodologia é sempre essa: energia por massa (entalpia) + energia cinética menos trabalho = calor.

Resposta

-145{,}82\\ \mathrm{Btu}/\mathrm{s}

Exercícios relacionados