Em um escoamento laminar de um fluido incompressível completamente desenvolvido, entre duas placas paralelas fixas, o perfil de velocidade é v_{x}=4 v_{x m a x} z \frac{x_{0}-z}{x_{0}^{2}} \quad ; \quad v_{y}=0 \quad ; \quad v_{x}=0 \quad que é uma solução exata da equação de Navier-Stokes. Desprezando a gravidade, calcular a distribuição de pressão e a distribuição de
esforço viscoso ( \tau ), utilizando Zo, v_{x m i x} e a \mu como parâmetros. Qual é a vazão volumétrica?
Resposta: \frac{d P}{d x}=8 v_{x \text { max }} \mu / z_{\varphi}^{2} ; \tau=\left(4 v_{x \text { max }} \mu / z_{\varphi}^{2}\right)\left(z_{\varphi}-2 z\right) ; \quad \bar{v}=\frac{4}{8} b z_{\varphi} v_{x \text { mix }}
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (resumido e claro):
Velocidade fornecida (peguei a expressão do enunciado):
v_x(z)=4\,v_{x\text{max}}\,z\frac{z_0-z}{z_0^{2}}
As demais componentes são nulas (peguei do enunciado): \;v_y=0\;;\;v_z=0.
O escoamento é incompressível, laminar, estacionário e completamente desenvolvido entre duas placas paralelas fixas; despreza-se a gravidade.
Parâmetros disponíveis: \;z_0 (separação entre as placas), \;v_{x\text{max}} e o coeficiente de viscosidade dinâmica \mu.
Perguntas que o enunciado faz:
Qual a distribuição de pressão (isto é, o gradiente \frac{dP}{dx})?
Qual a distribuição do esforço viscoso (tensão de cisalhamento) \tau(z)?
Qual é a vazão volumétrica Q (e, se útil, a velocidade média \bar v)?
Passo 2
Equação simplificada que vamos usar — explicando por que:
Para escoamento estacionário, incompressível e completamente desenvolvido entre placas, as únicas variações da velocidade ocorrem na direção \;z. Assim, todos os termos convectivos em x (como v_x\partial v_x/\partial x) são nulos porque \partial/\partial x=0 (perfil não muda ao longo de x).
A equação de Navier–Stokes na direção x, sem forças de volume (gravidade desprezada), reduz-se a:
0 = -\frac{dP}{dx} + \mu \frac{d^{2}v_x}{dz^{2}}.
Interpretação: o balanço entre o gradiente de pressão (força que impulsiona o fluxo) e as forças viscosas (proporcional à curvatura do perfil v_x(z)). A derivada segunda aparece porque a viscosidade relaciona a taxa de variação do gradiente de velocidade à força por unidade de volume.
Passo 3
Calcular as derivadas necessárias do perfil v_x(z) — passo a passo e bem mastigado:
Para simplificar os cálculos, defino a constante
A \equiv \frac{4\,v_{x\text{max}}}{z_0^{2}}.
Então
v_x(z)=A\,(z_0 z - z^{2}).
Derivando em relação a z:
\frac{dv_x}{dz}=A\,(z_0 - 2z).
(Explicação rápida: derivada de z_0 z é z_0; derivada de -z^2 é -2z.)
Derivando de novo:
\frac{d^{2}v_x}{dz^{2}}=A\cdot(-2)=-2A.
(Aqui o resultado é constante: a curvatura do perfil é uniforme.)
Passo 4
Determinar o gradiente de pressão \frac{dP}{dx}:
Substituo \frac{d^{2}v_x}{dz^{2}}=-2A na equação reduzida de Navier–Stokes:
Observação física (importante): o sinal negativo indica que a pressão diminui no sentido positivo de x — ou seja, é um gradiente de pressão impulsionando o escoamento. Se for necessária apenas a magnitude do gradiente, ela é \dfrac{8\mu v_{x\text{max}}}{z_0^{2}}.
Passo 5
Determinar a distribuição de esforço viscoso (tensão de cisalhamento) \tau(z):
Para fluido newtoniano, a tensão de cisalhamento em função de z é