Em um escoamento laminar de um fluido incompressível completamente desenvolvido, entre duas placas paralelas fixas, o perfil de velocidade é
v_{x}=4 v_{x m a x} z \frac{x_{0}-z}{x_{0}^{2}} \quad ; \quad v_{y}=0 \quad ; \quad v_{x}=0 \quad que é uma solução exata da equação de Navier-Stokes. Desprezando a gravidade, calcular a distribuição de pressão e a distribuição de
esforço viscoso ( \tau ), utilizando Zo, v_{x m i x} e a \mu como parâmetros. Qual é a vazão volumétrica?
Resposta: \frac{d P}{d x}=8 v_{x \text { max }} \mu / z_{\varphi}^{2} ; \tau=\left(4 v_{x \text { max }} \mu / z_{\varphi}^{2}\right)\left(z_{\varphi}-2 z\right) ; \quad \bar{v}=\frac{4}{8} b z_{\varphi} v_{x \text { mix }}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (resumido e claro):
  • Velocidade fornecida (peguei a expressão do enunciado):
v_x(z)=4\,v_{x\text{max}}\,z\frac{z_0-z}{z_0^{2}}
  • As demais componentes são nulas (peguei do enunciado): \;v_y=0\;;\;v_z=0.
  • O escoamento é incompressível, laminar, estacionário e completamente desenvolvido entre duas placas paralelas fixas; despreza-se a gravidade.
  • Parâmetros disponíveis: \;z_0 (separação entre as placas), \;v_{x\text{max}} e o coeficiente de viscosidade dinâmica \mu.
  • Perguntas que o enunciado faz:
    1. Qual a distribuição de pressão (isto é, o gradiente \frac{dP}{dx})?
    2. Qual a distribuição do esforço viscoso (tensão de cisalhamento) \tau(z)?
    3. Qual é a vazão volumétrica Q (e, se útil, a velocidade média \bar v)?

Passo 2

Equação simplificada que vamos usar — explicando por que:
  • Para escoamento estacionário, incompressível e completamente desenvolvido entre placas, as únicas variações da velocidade ocorrem na direção \;z. Assim, todos os termos convectivos em x (como v_x\partial v_x/\partial x) são nulos porque \partial/\partial x=0 (perfil não muda ao longo de x).
  • A equação de Navier–Stokes na direção x, sem forças de volume (gravidade desprezada), reduz-se a:
0 = -\frac{dP}{dx} + \mu \frac{d^{2}v_x}{dz^{2}}.
  • Interpretação: o balanço entre o gradiente de pressão (força que impulsiona o fluxo) e as forças viscosas (proporcional à curvatura do perfil v_x(z)). A derivada segunda aparece porque a viscosidade relaciona a taxa de variação do gradiente de velocidade à força por unidade de volume.

Passo 3

Calcular as derivadas necessárias do perfil v_x(z) — passo a passo e bem mastigado:
  • Para simplificar os cálculos, defino a constante
A \equiv \frac{4\,v_{x\text{max}}}{z_0^{2}}.
  • Então
v_x(z)=A\,(z_0 z - z^{2}).
  • Derivando em relação a z:
\frac{dv_x}{dz}=A\,(z_0 - 2z).
(Explicação rápida: derivada de z_0 z é z_0; derivada de -z^2 é -2z.)
  • Derivando de novo:
\frac{d^{2}v_x}{dz^{2}}=A\cdot(-2)=-2A.
(Aqui o resultado é constante: a curvatura do perfil é uniforme.)

Passo 4

Determinar o gradiente de pressão \frac{dP}{dx}:
  • Substituo \frac{d^{2}v_x}{dz^{2}}=-2A na equação reduzida de Navier–Stokes:
0 = -\frac{dP}{dx} + \mu(-2A).
  • Reorganizando:
\frac{dP}{dx} = -2A\mu.
  • Substituindo A=\dfrac{4\,v_{x\text{max}}}{z_0^{2}}:
\frac{dP}{dx} = -2\mu\left(\frac{4\,v_{x\text{max}}}{z_0^{2}}\right) = -\frac{8\mu\,v_{x\text{max}}}{z_0^{2}}.
  • Observação física (importante): o sinal negativo indica que a pressão diminui no sentido positivo de x — ou seja, é um gradiente de pressão impulsionando o escoamento. Se for necessária apenas a magnitude do gradiente, ela é \dfrac{8\mu v_{x\text{max}}}{z_0^{2}}.

Passo 5

Determinar a distribuição de esforço viscoso (tensão de cisalhamento) \tau(z):
  • Para fluido newtoniano, a tensão de cisalhamento em função de z é
\tau(z)=\mu\frac{dv_x}{dz}.
  • Usando \dfrac{dv_x}{dz}=A(z_0-2z) obtemos
\tau(z)=\mu\,A\,(z_0-2z).
  • Substituindo A:
\tau(z)=\frac{4\mu\,v_{x\text{max}}}{z_0^{2}}\,(z_0-2z).
  • Interpretação rápida: \tau é linear em z; em z=0 (parede inferior) e z=z_0 (parede superior) dá valores opostos (como esperado para placas opostas).

Passo 6

Calcular a vazão volumétrica Q (e a velocidade média \bar v), integrando o perfil:
  • Vazão por seção (largura da placa na direção y chamemos de b): a área da secção é b\times z_0. A vazão é
Q = b\int_{0}^{z_0} v_x(z)\,dz.
  • Substituo v_x(z)=A(z_0 z - z^{2}) e integro:
\int_{0}^{z_0} (z_0 z - z^{2})\,dz = z_0\frac{z^{2}}{2}\Big|_{0}^{z_0} - \frac{z^{3}}{3}\Big|_{0}^{z_0} = z_0\frac{z_0^{2}}{2} - \frac{z_0^{3}}{3} = z_0^{3}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right) = \frac{z_0^{3}}{6}.
  • Portanto
Q = b\cdot A\cdot \frac{z_0^{3}}{6} = b\left(\frac{4\,v_{x\text{max}}}{z_0^{2}}\right)\frac{z_0^{3}}{6} = b\,v_{x\text{max}}\,z_0\cdot\frac{4}{6} = \frac{2}{3}\,b\,v_{x\text{max}}\,z_0.
  • Velocidade média através da secção:
\bar v=\frac{Q}{b z_0}=\frac{2}{3}\,v_{x\text{max}}.
(Ou seja, a velocidade média é 2/3 do valor máximo do perfil.)

Resposta

\displaystyle \frac{dP}{dx}=-\frac{8\mu\,v_{x\text{max}}}{z_{0}^{2}}
\displaystyle \tau(z)=\frac{4\mu\,v_{x\text{max}}}{z_{0}^{2}}\bigl(z_{0}-2z\bigr)
\displaystyle Q=\frac{2}{3}\,b\,z_{0}\,v_{x\text{max}}

Exercícios relacionados