Ar entra em um tanque através de uma área de 0,2 \mathrm{ft}^{2} com velocidade de 15 \mathrm{ft} / \mathrm{s} e massa específica de 0,03 \mathrm{slug} / \mathrm{ft}^{3}. O ar sai a uma velocidade de 5 \mathrm{ft} / \mathrm{s} e uma massa específica de 0,02 slug / \mathrm{ft}^{3}. O volume total do tanque é de 20 \mathrm{ft}^{3} e a área de saída é de 0,4 \mathrm{ft}^{2}. Obtenha a taxa de variação da massa específica do ar no tanque (em slug/ \mathrm{ft}^{3} . \mathrm{s} ). Considere as velocidades uniformes em todas as seções de entrada e de saída. Explique o seu resultado.

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pergunta o que segue.
Dados (peguei todos do enunciado):
  • Área de entrada: A_{\text{in}}=0,2\\ \mathrm{ft}^2.
  • Velocidade de entrada: v_{\text{in}}=15\\ \mathrm{ft/s}.
  • Massa específica do ar na entrada: \rho_{\text{in}}=0,03\\ \mathrm{slug/ft}^3.
  • Área de saída: A_{\text{out}}=0,4\\ \mathrm{ft}^2.
  • Velocidade de saída: v_{\text{out}}=5\\ \mathrm{ft/s}.
  • Massa específica do ar na saída: \rho_{\text{out}}=0,02\\ \mathrm{slug/ft}^3.
  • Volume do tanque (constante): V=20\\ \mathrm{ft}^3.
O enunciado pede:
  • Obter a taxa de variação da massa específica do ar no tanque, ou seja \dfrac{d\rho_{\text{tanque}}}{dt}, em unidades de \mathrm{slug\;ft^{-3}\;s^{-1}}.
  • Explicar o resultado.

Passo 2

Princípio físico e fórmula básica (conservação de massa, passo-a-passo didático).
  • A massa que entra por unidade de tempo numa seção é chamada taxa mássica de entrada e é dada por
\dot{m}_{\text{in}}=\rho_{\text{in}}\,v_{\text{in}}\,A_{\text{in}}.
Aqui:
  • \dot{m}_{\text{in}} é a massa que entra por segundo (unidade \mathrm{slug/s}),
  • \rho_{\text{in}} é a massa específica na entrada ( \mathrm{slug/ft}^3),
  • v_{\text{in}} é a velocidade média na entrada ( \mathrm{ft/s}),
  • A_{\text{in}} é a área da seção de entrada ( \mathrm{ft}^2).
  • Analogamente, a taxa mássica de saída é
\dot{m}_{\text{out}}=\rho_{\text{out}}\,v_{\text{out}}\,A_{\text{out}}.
  • A variação da massa no tanque por unidade de tempo é a diferença entre entrada e saída:
\frac{dm_{\text{tanque}}}{dt}=\dot{m}_{\text{in}}-\dot{m}_{\text{out}}.
  • A massa no tanque é m_{\text{tanque}}=\rho_{\text{tanque}}\,V. Como o volume V é constante, derivando no tempo:
\frac{dm_{\text{tanque}}}{dt}=V\frac{d\rho_{\text{tanque}}}{dt}.
  • Portanto, isolando a taxa de variação da massa específica:
\boxed{ \frac{d\rho_{\text{tanque}}}{dt}=\frac{\dot{m}_{\text{in}}-\dot{m}_{\text{out}}}{V}. }
Essa é a relação que vamos usar. Em palavras: a densidade no tanque varia conforme a diferença entre o que entra e o que sai, dividida pelo volume (porque espalha-se por todo o volume do tanque).

Passo 3

Calcular a taxa mássica de entrada passo a passo.
\dot{m}_{\text{in}}=\rho_{\text{in}}\,v_{\text{in}}\,A_{\text{in}} =0,03\cdot 15\cdot 0,2.
Faço as multiplicações na ordem mais simples: 15\cdot 0,2=3, então
\dot{m}_{\text{in}}=0,03\cdot 3=0,09\\ \mathrm{slug/s}.

Passo 4

Calcular a taxa mássica de saída passo a passo.
\dot{m}_{\text{out}}=\rho_{\text{out}}\,v_{\text{out}}\,A_{\text{out}} =0,02\cdot 5\cdot 0,4.
Novamente simplifico: 5\cdot 0,4=2, então
\dot{m}_{\text{out}}=0,02\cdot 2=0,04\\ \mathrm{slug/s}.

Passo 5

Calcular a taxa de variação da massa específica usando a fórmula do Passo 2.
  • Primeiro a diferença de taxas mássicas:
\dot{m}_{\text{in}}-\dot{m}_{\text{out}}=0,09-0,04=0,05\\ \mathrm{slug/s}.
  • Dividindo pelo volume V=20\\ \mathrm{ft}^3:
\frac{d\rho_{\text{tanque}}}{dt}=\frac{0,05}{20}=0,0025\\ \mathrm{slug\;ft^{-3}\;s^{-1}}.

Passo 6

Interpretação física e hipóteses (por que esse resultado faz sentido).
  • O valor positivo \dfrac{d\rho_{\text{tanque}}}{dt}=0,0025\\ \mathrm{slug\;ft^{-3}\;s^{-1}} significa que a massa específica (densidade) do ar no tanque está aumentando com o tempo: entra mais massa por segundo do que sai por segundo.
  • Hipóteses usadas (importante saber na prova):
    • As velocidades são médias uniformes nas seções (dado no enunciado).
    • O volume do tanque é constante.
    • O tanque é “bem misturado” ou a densidade no tanque pode ser considerada homogênea no instante considerado, para que m=\rho V seja válido com uma única \rho_{\text{tanque}}.
    • Não foi modelada compressibilidade dinâmica do ar (mas usamos as densidades fornecidas nas seções como dadas).
  • Em termos práticos: a massa entrando por segundo ( 0,09\\ \mathrm{slug/s}) é maior que a massa saindo por segundo ( 0,04\\ \mathrm{slug/s}), logo a massa total no tanque cresce e, como o volume é fixo, a densidade aumenta. Isso explica o sinal e a magnitude do resultado.

Resposta

0,0025\\ \mathrm{slug\;ft^{-3}\;s^{-1}}

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