Ar entra em um tanque através de uma área de
com velocidade de
e massa específica de
. O ar sai a uma velocidade de
e uma massa específica de 0,02 slug
. O volume total do tanque é de
e a área de saída é de
. Obtenha a taxa de variação da massa específica do ar no tanque (em slug/
). Considere as velocidades uniformes em todas as seções de entrada e de saída. Explique o seu resultado.
Passo 1
O enunciado fornece os seguintes dados e pergunta o que segue.
Dados (peguei todos do enunciado):
- Área de entrada:
. - Velocidade de entrada:
. - Massa específica do ar na entrada:
. - Área de saída:
. - Velocidade de saída:
. - Massa específica do ar na saída:
. - Volume do tanque (constante):
.
O enunciado pede:
- Obter a taxa de variação da massa específica do ar no tanque, ou seja
, em unidades de . - Explicar o resultado.
Passo 2
Princípio físico e fórmula básica (conservação de massa, passo-a-passo didático).
- A massa que entra por unidade de tempo numa seção é chamada taxa mássica de entrada e é dada por
Aqui:
-
é a massa que entra por segundo (unidade ), -
é a massa específica na entrada ( ), -
é a velocidade média na entrada ( ), -
é a área da seção de entrada ( ). - Analogamente, a taxa mássica de saída é
- A variação da massa no tanque por unidade de tempo é a diferença entre entrada e saída:
- A massa no tanque é
. Como o volume é constante, derivando no tempo:
- Portanto, isolando a taxa de variação da massa específica:
Essa é a relação que vamos usar. Em palavras: a densidade no tanque varia conforme a diferença entre o que entra e o que sai, dividida pelo volume (porque espalha-se por todo o volume do tanque).
Passo 3
Calcular a taxa mássica de entrada passo a passo.
Faço as multiplicações na ordem mais simples:
, então
Passo 4
Calcular a taxa mássica de saída passo a passo.
Novamente simplifico:
, então
Passo 5
Calcular a taxa de variação da massa específica usando a fórmula do Passo 2.
- Primeiro a diferença de taxas mássicas:
- Dividindo pelo volume
:
Passo 6
Interpretação física e hipóteses (por que esse resultado faz sentido).
- O valor positivo
significa que a massa específica (densidade) do ar no tanque está aumentando com o tempo: entra mais massa por segundo do que sai por segundo. - Hipóteses usadas (importante saber na prova):
- As velocidades são médias uniformes nas seções (dado no enunciado).
- O volume do tanque é constante.
- O tanque é “bem misturado” ou a densidade no tanque pode ser considerada homogênea no instante considerado, para que
seja válido com uma única . - Não foi modelada compressibilidade dinâmica do ar (mas usamos as densidades fornecidas nas seções como dadas).
- Em termos práticos: a massa entrando por segundo (
) é maior que a massa saindo por segundo ( ), logo a massa total no tanque cresce e, como o volume é fixo, a densidade aumenta. Isso explica o sinal e a magnitude do resultado.