A lei de Newton pode ser expressa na seguinte forma:
F=\frac{m a}{g_{c}}
Qual o valor numérico e as unidades da constante g_{c} nos seguintes casos:
Deseja-se F(\mathrm{lbf}), utilizando-se m (lb) e a\left(\mathrm{ft} / \mathrm{s}^{2}\right);

Passo 1

O enunciado dá a forma da segunda lei de Newton
F=\frac{m\,a}{g_{c}}
e pede o valor numérico e as unidades da constante g_{c} no caso em que se deseja F em \mathrm{lbf} (pound‑force), usando massa m em \mathrm{lb} (pound‑mass, ou \mathrm{lbm}) e aceleração a em \mathrm{ft/s^{2}}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Queremos F em \mathrm{lbf}.
  • A massa m está em \mathrm{lbm} (escrita no enunciado como m(\mathrm{lb})).
  • A aceleração a está em \mathrm{ft/s^{2}}.
O que precisamos achar:
  • O valor numérico de g_{c}.
  • As unidades de g_{c} que tornam a fórmula dimensionalmente consistente com as unidades pedidas.

Passo 2

Entender a relação entre \mathrm{lbf} e unidades de massa·aceleração: em unidades inglesas, a força em unidades de massa vezes aceleração não é diretamente numericamente igual porque a unidade de massa convencional é \mathrm{lbm}, não o slug. Para ter consistência dimensional usa‑se g_{c} tal que
[F]=\frac{[m]\,[a]}{[g_{c}]},
onde [F] será \mathrm{lbf}, [m] será \mathrm{lbm} e [a] será \mathrm{ft/s^{2}}. Logo as unidades de g_{c} têm que ser tais que a divisão converta \mathrm{lbm\cdot ft/s^{2}} em \mathrm{lbf}.

Passo 3

Usar a definição prática que relaciona \mathrm{lbf} e \mathrm{lbm}: por convenção conhecida,
uma força de 1\\ \mathrm{lbf} é equivalente a uma força que acelera uma massa de 1\\ \mathrm{slug} a 1\\ \mathrm{ft/s^{2}}. A massa chamada slug está relacionada com \mathrm{lbm} através da gravidade padrão: a aceleração da gravidade padrão é
g_{0}=32,174\\ \mathrm{ft/s^{2}}.
Assim, um slug tem massa igual a 32,174\\ \mathrm{lbm}. Dessa forma pode‑se escrever a equivalência útil:
1\\ \mathrm{lbf}=32,174\\ \mathrm{lbm\cdot ft/s^{2}}.
(Essa relação é justamente o fator que precisamos “corrigir” com g_{c}.)

Passo 4

Determinar g_{c} a partir do fato que, quando m=1\\ \mathrm{lbm} e a=g_{0}=32,174\\ \mathrm{ft/s^{2}}, a força peso deve ser 1\\ \mathrm{lbf}. Substituindo na fórmula
F=\frac{m\,a}{g_{c}}
colocando F=1\\ \mathrm{lbf}, m=1\\ \mathrm{lbm} e a=32,174\\ \mathrm{ft/s^{2}}, obtemos
1\\ \mathrm{lbf}=\frac{1\\ \mathrm{lbm}\cdot 32,174\\ \mathrm{ft/s^{2}}}{g_{c}}.
Isolando g_{c} obtemos
g_{c}=\frac{1\\ \mathrm{lbm}\cdot 32,174\\ \mathrm{ft/s^{2}}}{1\\ \mathrm{lbf}}=32,174\\ \frac{\mathrm{lbm\cdot ft}}{\mathrm{lbf\cdot s^{2}}}.

Passo 5

Verificação dimensional (para ficar seguro): as unidades de g_{c} são
[g_{c}]=\frac{\mathrm{lbm\cdot ft}}{\mathrm{lbf\cdot s^{2}}}.
Assim em F=\dfrac{m\,a}{g_{c}} as unidades dão
\frac{\mathrm{lbm}\cdot \mathrm{ft/s^{2}}}{\mathrm{lbm\cdot ft/(lbf\cdot s^{2})}}=\mathrm{lbf},
ou seja, a fórmula fica consistente e produz \mathrm{lbf} como desejado.

Passo 6

Interpretação alternativa rápida (useful mnemonic): muitas tabelas de engenharia dão diretamente
1\\ \mathrm{lbf}=32,174\\ \mathrm{lbm\cdot ft/s^{2}},
portanto \;g_{c}=32,174\\ \mathrm{lbm\cdot ft/(lbf\cdot s^{2})}. Guardar esse número é útil em problemas de estática/dinâmica em unidades inglesas.

Resposta

g_{c}=32,174\\ \dfrac{\mathrm{lbm\cdot ft}}{\mathrm{lbf\cdot s^{2}}}

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