A temperatura média da superfície de um equipamento com área total de 26 \mathrm{~m}^{2} é igual a 40^{\circ} \mathrm{C}. Sabendo que ela está exposta a um ambiente a 20^{\circ} \mathrm{C}, que o coeficiente de transferência de calor por convecção entre a superfície e o ambiente é igual a 10 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2} . \mathrm{K}\right) e que a emissividade da superfície é igual a 0,6 , pede-se para determinar as taxas de transferência de calor por convecção e por radiação entre a superfície e o ambiente que a envolve,

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Área da superfície: A=26\\ \mathrm{m^{2}}.
    • Temperatura média da superfície: 40^\circ\mathrm{C}.
    • Temperatura do ambiente: 20^\circ\mathrm{C}.
    • Coeficiente de convecção: h=10\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)}.
    • Emissividade da superfície: \varepsilon=0{,}6.
    • Constante de Stefan–Boltzmann: \sigma (valor numérico será usado).
  • O enunciado pede:
    • Determinar a taxa de transferência de calor por convecção entre a superfície e o ambiente.
    • Determinar a taxa de transferência de calor por radiação entre a superfície e o ambiente.

Passo 2

Explicando e calculando a transferência por convecção (aula rápida e passo a passo).
  • Fórmula (Lei de resfriamento por convecção, fluxo convectivo total):
Q_{\text{conv}} = h\,A\,(T_{s}-T_{\infty}).
Aqui:
  • Q_{\text{conv}} é a potência (taxa de calor) por convecção, em \mathrm{W}.
  • h é o coeficiente de convecção, em \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)}.
  • A é a área da superfície, em \mathrm{m^{2}}.
  • T_{s} é a temperatura da superfície e T_{\infty} a temperatura do ambiente; a diferença pode ser em ^\circ\mathrm{C} ou \mathrm{K} (uma diferença de temperatura em °C = diferença em K).
  • Conversão de temperaturas (apenas para lembrar): não é necessário converter para Kelvin aqui porque usamos apenas a diferença (T_{s}-T_{\infty}).
    Diferença:
T_{s}-T_{\infty}=40^\circ\mathrm{C}-20^\circ\mathrm{C}=20\\ \mathrm{K}.
  • Substituindo na fórmula:
Q_{\text{conv}} = 10\cdot 26 \cdot 20.
Calcule:
Q_{\text{conv}} = 5200\\ \mathrm{W}.

Passo 3

Explicando a transferência por radiação (aula rápida e passo a passo).
  • Para radiação, usa-se a lei de Stefan–Boltzmann para a emissão líquida entre a superfície e o ambiente (supondo ambiente como corpo negro à temperatura uniforme). A expressão é:
Q_{\text{rad}} = \varepsilon\,\sigma\,A\,(T_{s}^{4}-T_{\infty}^{4}).
Aqui:
  • Q_{\text{rad}} é a potência por radiação, em \mathrm{W}.
  • \varepsilon é a emissividade (adimensional).
  • \sigma é a constante de Stefan–Boltzmann, \sigma \approx 5{,}670374419\times 10^{-8}\\ \mathrm{W/(m^{2}\,K^{4})}.
  • T_{s} e T_{\infty} devem ser em Kelvin.
  • Primeiro converter temperaturas para Kelvin:
T_{s}=40^\circ\mathrm{C}=273{,}15+40=313{,}15\\ \mathrm{K}, \qquad T_{\infty}=20^\circ\mathrm{C}=273{,}15+20=293{,}15\\ \mathrm{K}.

Passo 4

Cálculo de T_{s}^{4}-T_{\infty}^{4} com passos claros (usar identidade para evitar elevar diretamente números muito grandes).
  • Calcular os quadrados:
T_{s}^{2}=313{,}15^{2}=98062{,}9225\\ \mathrm{K^{2}}, \qquad T_{\infty}^{2}=293{,}15^{2}=85936{,}9225\\ \mathrm{K^{2}}.
  • Usar a identidade a^{4}-b^{4}=(a^{2}-b^{2})(a^{2}+b^{2}). Então:
T_{s}^{4}-T_{\infty}^{4}=(98062{,}9225-85936{,}9225)\,(98062{,}9225+85936{,}9225).
Calcule as somas e diferenças:
98062{,}9225-85936{,}9225=12126{,}0,
98062{,}9225+85936{,}9225=183999{,}845.
Multiplicando:
T_{s}^{4}-T_{\infty}^{4}=12126{,}0\times 183999{,}845 \approx 2{,}231182120\times 10^{9}\\ \mathrm{K^{4}}.

Passo 5

Calcular Q_{\text{rad}} numérico passo a passo.
  • Primeiro calcular \sigma\,(T_{s}^{4}-T_{\infty}^{4}):
\sigma\,(T_{s}^{4}-T_{\infty}^{4}) \approx 5{,}670374419\times 10^{-8}\times 2{,}231182120\times 10^{9}.
Fazendo a conta (movendo os expoentes):
\sigma\,(T_{s}^{4}-T_{\infty}^{4}) \approx 126{,}516\\ \mathrm{W/m^{2}} \quad(\text{aprox.}).
  • Agora multiplicar por \varepsilon e A:
Q_{\text{rad}} = \varepsilon\,A\,[\sigma\,(T_{s}^{4}-T_{\infty}^{4})] \approx 0{,}6\cdot 26\cdot 126{,}516.
  • Calculando:
Q_{\text{rad}} \approx 1973{,}7\\ \mathrm{W}.
Arredondando de forma conveniente (duas ou três cifras significativas), pode-se escrever Q_{\text{rad}\,}\approx 1974\\ \mathrm{W}.

Passo 6

Interpretação final e incentivo (curtinho).
  • Convecção domina aqui: Q_{\text{conv}} é maior que Q_{\text{rad}}, mas ambos são da mesma ordem de grandeza.
  • Está saindo calor da superfície para o ambiente (ambas as taxas positivas representam perda de calor da superfície para o meio).

Resposta

Taxa por convecção: 5200\\ \mathrm{W}
Taxa por radiação: 1974\\ \mathrm{W}

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