Uma função quadrática tem o eixo y como eixo de simetria. A distância entre os zeros da função é de 4 unidades, e a função tem -5 como valor mínimo. Determine essa função quadrática.

Passo 1

O enunciado diz que buscamos uma função quadrática cujo eixo de simetria é o eixo y, os zeros estão a 4 unidades de distância entre si e o valor mínimo é -5. O conteúdo é função quadrática com eixo de simetria vertical e vértice mínimo.

Passo 2

Como o eixo de simetria é o eixo y (ou seja, x=0), a forma geral da função é f(x)=ax^2+c, sem termo linear.

Passo 3

A distância entre os zeros é 4 e são simétricos em relação a x=0, logo os zeros são x=−2 e x=2. Podemos escrever f(x)=a(x−2)(x+2)=a(x^2−4).

Passo 4

O valor mínimo ocorre no vértice, que neste caso é em x=0. Então f(0)=c deve ser −5. Mas de f(x)=a(x^2−4) temos f(0)=−4a. Logo
-4a = -5
Dessa equação encontramos a=5/4. Substituindo em f(x)=a(x^2−4) obtemos f(x)= 54x^2 -5.

Resposta

f(x)=\frac{5}{4}x^2 -5

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