A entrada X(t) de um sistema LIT é um processo estocástico W W S com \mu_{X}=4 volts. A saída Y(t) do sistema é um processo estocástico W W S com valor esperado \mu_{Y}=1 volt. A resposta ao impulso do sistema é
h(t)=\left\{\begin{array}{l}e^{-t / a}, \text { se } t \geq 0 ; \\\\ 0, \text { caso contrário. }\end{array}\right.á
Qual é o valor da constante a ?

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:
  • A entrada X(t)\) é um processo estocástico WSS com média \(\mu_{X}=4\) volts. - A saída \(Y(t)\) é um processo estocástico WSS com média \(\mu_{Y}=1\) volt. - A resposta ao impulso do sistema é \[h(t)=\begin{cases} e^{-t/a}, & t\ge 0,\\[4pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}
A pergunta é: qual é o valor da constante (a]?]

Passo 2

Vamos usar a relação entre médias para um sistema LIT. Lembrete passo a passo e por que isso vale:
  • Para um sistema linear invariante no tempo (LIT), a saída é a convolução da entrada com a resposta ao impulso:
Y(t)=\int_{-\infty}^{\infty} h(\tau)\,X(t-\tau)\,d\tau.
Aqui Y(t) e X(t) são funções (ou processos) do tempo, h(\tau) é a resposta ao impulso e \tau é a variável de integração.
  • Tomando esperança matemática (valor esperado) dos dois lados:
\mathbb{E}[Y(t)]=\mathbb{E}\!\left[\int_{-\infty}^{\infty} h(\tau)\,X(t-\tau)\,d\tau\right].
Como a integral é linear e h(\tau) é determinística, pode-se trocar esperança e integral:
\mu_{Y}=\int_{-\infty}^{\infty} h(\tau)\,\mathbb{E}[X(t-\tau)]\,d\tau.
  • Se X(t) é WSS, sua média \mathbb{E}[X(t-\tau)] não depende de t nem de \tau; é constante igual a \mu_{X}. Portanto:
\mu_{Y}=\mu_{X}\int_{-\infty}^{\infty} h(\tau)\,d\tau.
Isto é intuitivo: a média da saída é a média da entrada multiplicada pela “ganho DC” do sistema, que é a área sob h(t).

Passo 3

Agora aplicamos os valores do enunciado na fórmula obtida. Peguei \mu_{X}=4 e \mu_{Y}=1 do enunciado. Assim:
\int_{-\infty}^{\infty} h(\tau)\,d\tau=\frac{\mu_{Y}}{\mu_{X}}=\frac{1}{4}.

Passo 4

Calcular a integral da resposta ao impulso dada. Como h(t)=0 para t<0, a integral sobre todo o eixo é a integral de 0 a +\infty:
\int_{-\infty}^{\infty} h(\tau)\,d\tau=\int_{0}^{\infty} e^{-\tau/a}\,d\tau.
Calcule essa integral. Uma forma direta é a substituição u=\tau/a, d\tau=a\,du, então
\int_{0}^{\infty} e^{-\tau/a}\,d\tau = \int_{0}^{\infty} e^{-u}\,a\,du = a\int_{0}^{\infty} e^{-u}\,du = a\,[ -e^{-u} ]_{0}^{\infty} = a\,(0-(-1))=a.
Portanto a área sob h(t) é a.

Passo 5

Juntando os resultados do Passo 3 e do Passo 4: a área sob h vale a e também deve valer 1/4. Logo
a=\frac{1}{4}.

Resposta

a=\dfrac{1}{4}=0,25 (unidades de tempo)

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