Se as entradas em cada linha de somam zero, resolva para provar . Se essas entradas somam um, mostre que . Isso significa ?
Passo 1
O enunciado diz que temos uma matriz de ordem em que cada linha soma um certo valor (zero ou um). O que vamos usar é que, se uma matriz leva um vetor não-nulo ao vetor nulo, ela é singular e sua determinante é zero; e também que é o produto dos autovalores de .
Passo 2
Suponha que em cada linha de as entradas somem zero. Considere o vetor
Então, ao multiplicar A1, cada componente é exatamente a soma das entradas da linha correspondente, isto é,
A1 = 0
Como 1neq0, concluímos que A tem núcleo não trivial, logo A é singular e
det A = 0
Passo 3
Agora suponha que em cada linha de A as entradas somem um. Defina B = A - I. Cada linha de B tem soma igual a
(soma das entradas de A)-1 = 1-1 = 0
Pelo mesmo raciocínio do Passo 2, temos
B,1 = 0 Longrightarrow det B = 0 Longrightarrow det(A - I) = 0
Passo 4
Desta forma, 1 é um autovalor de A. Mas a determinante de A é o produto de todos os seus autovalores:
det A = 1;times;l(produto dos outros n-1 autovaloresr)
Esses outros autovalores podem ser quaisquer valores, então det A em geral não é forçosamente 1.
Resposta
— Se cada linha de A soma zero, então det A = 0.
— Se cada linha de A soma um, então det(A - I) = 0.
— Não, disso não se segue que det A = 1.