Encontre os determinantes das rotações e reflexões:

Passo 1

O enunciado nos dá duas matrizes em R^2: a primeira é a matriz de rotação
Qrot = costheta & -sintheta sintheta & costheta
e a segunda é a matriz de reflexão em torno de uma reta que faz ângulo theta com o eixo x,
Qref = 1 - 2cos^2theta & -2costhetasintheta -2costhetasintheta & 1 - 2sin^2theta
Para ambas vamos usar o conteúdo de determinante de matriz 2times2, dado por
deta & b c & d = ad - bc

Passo 2

Aplicando a fórmula à matriz de rotação,
det(Qrot) = (costheta)(costheta) ;-;(-sintheta)(sintheta) = cos^2theta + sin^2theta = 1

Passo 3

Agora para a matriz de reflexão,
det(Qref) = l(1 - 2cos^2thetar)l(1 - 2sin^2thetar) ;-;l(-2costhetasinthetar)^2
Calculamos em duas partes:
(1 - 2cos^2theta)(1 - 2sin^2theta) = 1 - 2(cos^2theta + sin^2theta) + 4cos^2thetasin^2theta = -1 + 4cos^2thetasin^2theta
e
l(-2costhetasinthetar)^2 = 4cos^2thetasin^2theta
Subtraindo,
det(Qref) = l(-1 + 4cos^2thetasin^2thetar) - 4cos^2thetasin^2theta = -1

Resposta

Para a rotação det(Qrot)=1 e para a reflexão det(Qref)=-1.

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