Suponha que
e encontre a falha neste raciocínio: Tomando determinantes obtemos
. Portanto
ou
. Uma ou ambas as matrizes devem ser singulares. (Isto não é verdade.)
Passo 1
O enunciado nos dá duas matrizes quadradas
de ordem
tais que
Queremos achar a falha em tomar determinantes e concluir que uma delas precisa ser singular.
Conteúdo: propriedades do determinante, em particular e o efeito de multiplicar a matriz por um escalar.
Conteúdo: propriedades do determinante, em particular
Passo 2
Tomando determinantes em
obtém-se
Pelo teorema da multiplicação de determinantes,
Aqui
é a matriz identidade de ordem
.
Passo 3
Sabemos que
e também que
Portanto
Passo 4
Aí que está a falha do raciocínio original: ele usou
sem notar que na verdade
Logo só se obtém
quando
é ímpar. Se
for par,
e a igualdade é trivial sem obrigar
.
Resposta
A falha está em usar
sem considerar a ordem
da matriz. Na verdade
, e só para
ímpar vem
obrigando ser zero.