Suponha que C D=-D C e encontre a falha neste raciocínio: Tomando determinantes obtemos |C||D|=-|D||C|. Portanto |C|=0 ou |D|=0. Uma ou ambas as matrizes devem ser singulares. (Isto não é verdade.)

Passo 1

O enunciado nos dá duas matrizes quadradas C,D de ordem n tais que
C,D = -,D,C
Queremos achar a falha em tomar determinantes e concluir que uma delas precisa ser singular.
Conteúdo: propriedades do determinante, em particular det(AB)=det(A)det(B) e o efeito de multiplicar a matriz por um escalar.

Passo 2

Tomando determinantes em
C,D = -,D,C
obtém-se
det(C,D) = det(-,D,C)
Pelo teorema da multiplicação de determinantes,
det(C),det(D) = det(-In),det(D,C)
Aqui In é a matriz identidade de ordem n.

Passo 3

Sabemos que
det(D,C) = det(D),det(C)
e também que
det(-In) = (-1)^n
Portanto
det(C),det(D) = (-1)^n,det(D),det(C)

Passo 4

Aí que está a falha do raciocínio original: ele usou det(-A)=-det(A) sem notar que na verdade
det(-In) = (-1)^n
Logo só se obtém
det(C),det(D) = -,det(D),det(C)
quando n é ímpar. Se n for par, (-1)^n=+1 e a igualdade é trivial sem obrigar det(C)det(D)=0.

Resposta

A falha está em usar det(-A)=-det(A) sem considerar a ordem n da matriz. Na verdade det(-In)=(-1)^n, e só para n ímpar vem det(C)det(D)= -det(C)det(D) obrigando ser zero.

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