A entropia de um dado sistema composto de N partículas é
S(U, V, N)=3 \alpha V^{2}\left[\tan \left(\frac{U}{N}\right)+\beta N\right],
onde \alpha e \beta são constantes. Calcule
(c) - o calor específico a pressão constante;

Passo 1

O enunciado dá a entropia de um sistema de N partículas:
S(U,V,N)=3\alpha V^{2}\left[\tan\!\left(\frac{U}{N}\right)+\beta N\right],
onde \alpha e \beta são constantes. A pergunta (c) pede o calor específico à pressão constante, isto é, C_{p} (para N fixo).\n
Informações relevantes que temos no enunciado:
S(U,V,N)=3\alpha V^{2}\biggl[\tan\!\bigl(\tfrac{U}{N}\bigr)+\beta N\biggr].
O que precisamos calcular: C_{p} (para N fixo). Não há outras informações (por ex. sinais de \alpha,\beta), então faremos o cálculo simbólico em termos de U,V,N,\alpha,\beta.

Passo 2

Resumo das relações termodinâmicas que vamos usar (breve aula prática):
  • A temperatura T está dada por
\frac{1}{T}=\left(\frac{\partial S}{\partial U}\right)_{V,N}.
Aqui \partial S/\partial U significa derivada parcial de S em relação a U, mantendo V,N constantes.
  • A pressão P está relacionada por
\frac{P}{T}=\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_{U,N}.
  • O calor específico à pressão constante (para N fixo) pode ser obtido por
C_{p}=T\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_{P,N},
mas é frequentemente mais prático usar a identidade (válida em termodinâmica):
C_{p}-C_{V}=-T\frac{\bigl(\partial P/\partial T\bigr)_{V,N}^{2}}{\bigl(\partial P/\partial V\bigr)_{T,N}}.
Aqui C_{V}=\bigl(\partial U/\partial T\bigr)_{V,N\!}. Vou usar essa última identidade porque facilita o cálculo em termos das derivadas de P, sem precisar reescrever S diretamente como função de (T,P). Vou também trabalhar com a variável adimensional
u:=\frac{U}{N},
que simplifica as contas (é só u=U/N).

Passo 3

Calcular \partial S/\partial U e obter T em termos de u,V,N.
Derivando S em relação a U (mantendo V,N fixos):
\left(\frac{\partial S}{\partial U}\right)_{V,N} =3\alpha V^{2}\cdot \frac{d}{dU}\!\left[\tan\!\left(\frac{U}{N}\right)\right] =3\alpha V^{2}\cdot \operatorname{sec}^{2}\!\left(\frac{U}{N}\right)\cdot\frac{1}{N}.
Logo
\frac{1}{T}=\frac{3\alpha V^{2}}{N}\operatorname{sec}^{2}u.
Invertendo,
T=\frac{N}{3\alpha V^{2}}\cos^{2}u.
Observação didática: esta relação dá T como função de u e V. Em particular,
\cos^{2}u=\frac{3\alpha V^{2}T}{N}.

Passo 4

Calcular \partial S/\partial V e obter P em termos de u,V,N.
Derivando S em relação a V (mantendo U,N fixos):
\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_{U,N} =3\alpha\cdot 2V\bigl[\tan u+\beta N\bigr] =6\alpha V\bigl[\tan u+\beta N\bigr].
Como P/T=(\partial S/\partial V)_{U,N}, obtemos
P=T\cdot 6\alpha V\bigl[\tan u+\beta N\bigr].
Agora substituímos T da etapa anterior para simplificar P. Com T=\dfrac{N}{3\alpha V^{2}}\cos^{2}u,
P=\frac{N}{3\alpha V^{2}}\cos^{2}u\cdot 6\alpha V\bigl[\tan u+\beta N\bigr].
Simplificando constantes e fatores V:
P=\frac{2N}{V}\cos^{2}u\bigl[\tan u+\beta N\bigr].
Usando \cos^{2}u\tan u=\cos u\sin u=\tfrac{1}{2}\sin 2u, fica mais elegante:
P=\frac{N}{V}\sin 2u+\frac{2\beta N^{2}}{V}\cos^{2}u.
Esta forma em termos de u e V será muito conveniente para derivar com respeito a T e V.

Passo 5

Calcular C_{V}=(\partial U/\partial T)_{V,N}. (Pequena aula: para calor a volume constante, derivamos U em relação a T mantendo V fixo.)
Começamos de u=U/N e da relação obtida em

Passo 6

\cos^{2}u=\frac{3\alpha V^{2}T}{N}.
Diferenciando ambos os lados em relação a T (mantendo V fixo):
- \sin 2u\cdot \frac{du}{dT}=\frac{3\alpha V^{2}}{N}.
Logo
\frac{du}{dT}=-\frac{3\alpha V^{2}}{N\sin 2u}.
Como U=N u,
C_{V}=\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_{V,N}=N\frac{du}{dT} = -\frac{3\alpha V^{2}}{\sin 2u}.
Comentário empático: esse sinal negativo pode parecer estranho se você espera sempre C_{V}>0; aqui estamos fazendo o cálculo matemático direto com a forma dada de S. Se as constantes e as faixas de u fizerem \sin 2u<0, então C_V>0; o sinal depende do ponto de operação.

Passo 7

Vamos usar a identidade que relaciona C_{p} e C_{V}:
C_{p}-C_{V}=-T\frac{\bigl(\partial P/\partial T\bigr)_{V,N}^{2}}{\bigl(\partial P/\partial V\bigr)_{T,N}}.
Então precisamos calcular \bigl(\partial P/\partial T\bigr)_{V,N} e \bigl(\partial P/\partial V\bigr)_{T,N}. Em ambos os casos é conveniente trabalhar com P escrito em função de u e V, lembrando que u depende de T e V pela relação de

Passo 8

Calcular \bigl(\partial P/\partial T\bigr)_{V,N} usando cadeia de derivação via u.
Escrevemos (repetindo) P(u,V):
P(u,V)=\frac{N}{V}\sin 2u+\frac{2\beta N^{2}}{V}\cos^{2}u.
Primeiro calculamos \partial P/\partial u (mantendo V fixo):
\left(\frac{\partial P}{\partial u}\right)_{V} =\frac{N}{V}\cdot 2\cos 2u + \frac{2\beta N^{2}}{V}\cdot (-\sin 2u) =\frac{2N}{V}\bigl(\cos 2u - \beta N\sin 2u\bigr).
De

Passo 9

\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_{V} =\left(\frac{\partial P}{\partial u}\right)_{V}\frac{du}{dT} =\frac{2N}{V}\bigl(\cos 2u - \beta N\sin 2u\bigr)\cdot\left(-\frac{3\alpha V^{2}}{N\sin 2u}\right).
Cancelando N e simplificando fatores:
\boxed{\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_{V}=-6\alpha V\Bigl(\cot 2u-\beta N\Bigr).}

Passo 10

Calcular \bigl(\partial P/\partial V\bigr)_{T,N}. Aqui é necessário usar a regra da cadeia porque P depende explicitamente de V e implicitamente via u(V,T) quando T é mantido fixo.
Cadeia:
\left(\frac{\partial P}{\partial V}\right)_{T} =\left(\frac{\partial P}{\partial V}\right)_{u}+\left(\frac{\partial P}{\partial u}\right)_{V}\left(\frac{\partial u}{\partial V}\right)_{T}.
Já sabemos \left(\frac{\partial P}{\partial u}\right)_{V}=\dfrac{2N}{V}(\cos2u-\beta N\sin2u). Agora:
  • \left(\dfrac{\partial P}{\partial V}\right)_{u}: observando P(u,V)=\dfrac{1}{V}\bigl(N\sin2u+2\beta N^{2}\cos^{2}u\bigr), deriva-se em V com u fixo:
\left(\frac{\partial P}{\partial V}\right)_{u}=-\frac{1}{V^{2}}\bigl(N\sin2u+2\beta N^{2}\cos^{2}u\bigr) =-\frac{P}{V}.
  • \left(\dfrac{\partial u}{\partial V}\right)_{T}: derivamos a relação \cos^{2}u=\dfrac{3\alpha V^{2}T}{N} mantendo T fixo. Diferenciando,
-\,\sin 2u\cdot\frac{\partial u}{\partial V}=\frac{6\alpha V T}{N},
portanto
\frac{\partial u}{\partial V}=-\frac{6\alpha V T}{N\sin 2u}.
Multiplicando as peças:
\left(\frac{\partial P}{\partial u}\right)_{V}\left(\frac{\partial u}{\partial V}\right)_{T} =\frac{2N}{V}\bigl(\cos2u-\beta N\sin2u\bigr)\cdot\left(-\frac{6\alpha V T}{N\sin 2u}\right).
Simplificando os fatores:
\text{termo adicional}=-12\alpha T\bigl(\cot 2u-\beta N\bigr).
Somando com -P/V,
\boxed{\left(\frac{\partial P}{\partial V}\right)_{T}=-\frac{P}{V}-12\alpha T\bigl(\cot 2u-\beta N\bigr).}

Passo 11

Calcular C_{p}-C_{V} usando a identidade e as derivadas obtidas.
Temos
\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_{V}=-6\alpha V\bigl(\cot 2u-\beta N\bigr),
logo o quadrado é 36\alpha^{2}V^{2}\bigl(\cot2u-\beta N\bigr)^{2}. Aplicando a identidade
C_{p}-C_{V}=-T\frac{\bigl(\partial P/\partial T\bigr)_{V}^{2}}{\bigl(\partial P/\partial V\bigr)_{T}},
obtemos
C_{p}-C_{V} =-T\frac{36\alpha^{2}V^{2}\bigl(\cot2u-\beta N\bigr)^{2}} {-\dfrac{P}{V}-12\alpha T\bigl(\cot2u-\beta N\bigr)}.
Os sinais negativos cancelam (denominador está com sinal negativo), então
C_{p}-C_{V} =\;T\frac{36\alpha^{2}V^{2}\bigl(\cot2u-\beta N\bigr)^{2}}{\dfrac{P}{V}+12\alpha T\bigl(\cot2u-\beta N\bigr)}.
Podemos simplificar um pouco usando 36\alpha^{2}V^{2}T=12\alpha N\cos^{2}u (porque \alpha T=\dfrac{N\cos^{2}u}{3V^{2}} da

Passo 12

\boxed{C_{p}-C_{V} =\frac{12\alpha N\cos^{2}u\;(\cot2u-\beta N)^{2}} {\dfrac{P}{V}+12\alpha T(\cot2u-\beta N)}.}

Passo 13

Finalmente montamos C_{p}=C_{V}+(C_{p}-C_{V}). Substituindo C_{V} de

Passo 14

\boxed{C_{p} = -\frac{3\alpha V^{2}}{\sin 2u} \;+\; \frac{12\alpha N\cos^{2}u\;(\cot2u-\beta N)^{2}} {\dfrac{P}{V}+12\alpha T(\cot2u-\beta N)}.}
Se preferir, podemos substituir P e T por suas expressões em função de u e V para escrever tudo explicitamente apenas em u,V,N,\alpha,\beta. Lembrando:
T=\frac{N}{3\alpha V^{2}}\cos^{2}u,\qquad P=\frac{N}{V}\sin 2u+\frac{2\beta N^{2}}{V}\cos^{2}u,
o que permite eliminar P e T na expressão acima se for desejado.

Resposta

C_{p} = -\frac{3\alpha V^{2}}{\sin 2u} \;+\; \frac{12\alpha N\cos^{2}u\;(\cot2u-\beta N)^{2}} {\dfrac{P}{V}+12\alpha T(\cot2u-\beta N)},
com u=\dfrac{U}{N}, T=\dfrac{N}{3\alpha V^{2}}\cos^{2}u e P=\dfrac{N}{V}\sin 2u+\dfrac{2\beta N^{2}}{V}\cos^{2}u.

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