A entropia de um dado sistema composto de
partículas é
onde
e
são constantes. Calcule
(c) - o calor específico a pressão constante;
(c) - o calor específico a pressão constante;
Passo 1
O enunciado dá a entropia de um sistema de
partículas:
onde
e
são constantes. A pergunta (c) pede o calor específico à pressão constante, isto é,
(para
fixo).\n
Informações relevantes que temos no enunciado:
Informações relevantes que temos no enunciado:
O que precisamos calcular:
(para
fixo). Não há outras informações (por ex. sinais de
), então faremos o cálculo simbólico em termos de
.
Passo 2
Resumo das relações termodinâmicas que vamos usar (breve aula prática):
- A temperatura
está dada por
Aqui
significa derivada parcial de
em relação a
, mantendo
constantes.
- A pressão
está relacionada por
- O calor específico à pressão constante (para
fixo) pode ser obtido por
mas é frequentemente mais prático usar a identidade (válida em termodinâmica):
Aqui
. Vou usar essa última identidade porque facilita o cálculo em termos das derivadas de
, sem precisar reescrever
diretamente como função de
. Vou também trabalhar com a variável adimensional
que simplifica as contas (é só
).
Passo 3
Calcular
e obter
em termos de
.
Derivando
em relação a
(mantendo
fixos):
Logo
Invertendo,
Observação didática: esta relação dá
como função de
e
. Em particular,
Passo 4
Calcular
e obter
em termos de
.
Derivando
em relação a
(mantendo
fixos):
Como
, obtemos
Agora substituímos
da etapa anterior para simplificar
. Com
,
Simplificando constantes e fatores
:
Usando
, fica mais elegante:
Esta forma em termos de
e
será muito conveniente para derivar com respeito a
e
.
Passo 5
Calcular
. (Pequena aula: para calor a volume constante, derivamos
em relação a
mantendo
fixo.)
Começamos de
e da relação obtida em
Passo 6
Diferenciando ambos os lados em relação a
(mantendo
fixo):
Logo
Como
,
Comentário empático: esse sinal negativo pode parecer estranho se você espera sempre
; aqui estamos fazendo o cálculo matemático direto com a forma dada de
. Se as constantes e as faixas de
fizerem
, então
; o sinal depende do ponto de operação.
Passo 7
Vamos usar a identidade que relaciona
e
:
Então precisamos calcular
e
. Em ambos os casos é conveniente trabalhar com
escrito em função de
e
, lembrando que
depende de
e
pela relação de
Passo 8
Calcular
usando cadeia de derivação via
.
Escrevemos (repetindo)
:
Primeiro calculamos
(mantendo
fixo):
De
Passo 9
Cancelando
e simplificando fatores:
Passo 10
Calcular
. Aqui é necessário usar a regra da cadeia porque
depende explicitamente de
e implicitamente via
quando
é mantido fixo.
Cadeia:
Já sabemos
. Agora:
-
: observando , deriva-se em com fixo:
-
: derivamos a relação mantendo fixo. Diferenciando,
portanto
Multiplicando as peças:
Simplificando os fatores:
Somando com
,
Passo 11
Calcular
usando a identidade e as derivadas obtidas.
Temos
logo o quadrado é
. Aplicando a identidade
obtemos
Os sinais negativos cancelam (denominador está com sinal negativo), então
Podemos simplificar um pouco usando
(porque
da
Passo 12
Passo 13
Finalmente montamos
. Substituindo
de
Passo 14
Se preferir, podemos substituir
e
por suas expressões em função de
e
para escrever tudo explicitamente apenas em
. Lembrando:
o que permite eliminar
e
na expressão acima se for desejado.
Resposta
com
,
e
.