Two charges of equal magnitude Q are held a distance d apart. Consider only points on the line passing through both charges. (a) If the two charges have the same sign, find the location of all points (if there are any) at which (i) the potential (relative to infinity) is zero (is the electric field zero at these points?), and (ii) the electric field is zero (is the potential zero at these points?). (b) Repeat part (a) for two charges having opposite signs.

Passo 1

O enunciado dá duas cargas de mesmo módulo Q separadas por uma distância d. Devemos considerar apenas pontos sobre a reta que passa pelas cargas e responder, separadamente para os dois casos (a) cargas com mesmo sinal e (b) cargas com sinais opostos:
  • (i) Encontrar os pontos (se existirem) onde o potencial elétrico, tomado relativo ao infinito, é zero. Para cada ponto encontrado, responder se o campo elétrico é zero naquele ponto.
  • (ii) Encontrar os pontos (se existirem) onde o campo elétrico é zero. Para cada ponto encontrado, responder se o potencial é zero naquele ponto.
Informações relevantes dadas (colocadas de maneira explícita para facilitar os cálculos):
\text{duas cargas de módulo }Q,\qquad \text{separação entre elas }d.óçã
Para trabalhar com coordenadas, usarei a convenção útil: colocar as cargas em
x_1=-a,\qquad x_2=+a,\qquad\text{com }a=\frac{d}{2}.
Tudo o que se pede refere-se a pontos x na reta x-axis (a reta que contém as cargas).

Passo 2

Relembrando as fórmulas e conceitos que vamos usar (explicados passo a passo):
  • Potencial criado por uma carga pontual q a uma distância r (referência: potencial zero no infinito) é
V(q\text{ em }r)=k\frac{q}{r},
onde k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}. Aqui q pode ser positivo ou negativo; o sinal aparece diretamente em V. O potencial total é a soma (superposição) dos potenciais individuais: some-se termo a termo (escalares).
  • Campo elétrico produzido por uma carga pontual q em um ponto sobre a reta é um vetor. A expressão escalar para a componente ao longo da reta (com sinal) é
E(q\text{ em }x)=k\,q\,\frac{x-x_q}{|x-x_q|^3} = k\,q\frac{\operatorname{sgn}(x-x_q)}{(x-x_q)^2},
onde x_q é a posição da carga e \operatorname{sgn} dá o sentido (+ se o ponto está à direita da carga, − se à esquerda). O campo total é a soma vetorial (aqui soma algébrica dos componentes ao longo da reta) das contribuições de cada carga.
  • Observações práticas e intuitivas:
    • Potencial: soma algébrica de termos \propto 1/r. Se todos os termos tiverem mesmo sinal, a soma não pode se anular num ponto finito (será sempre do mesmo sinal).
    • Campo na reta: os sentidos das contribuições dependem se o ponto está entre as cargas ou fora delas; nas regiões certas as contribuições têm sentidos opostos e podem se cancelar.
Vou aplicar essas fórmulas colocando as cargas em x=-a e x=+a.

Passo 3

Primeiro escrevo expressões gerais ao longo do eixo x.
  • Potencial total em um ponto x:
V(x)=k\frac{Q}{|x+a|}+k\frac{Q}{|x-a|}=kQ\!\left(\frac{1}{|x+a|}+\frac{1}{|x-a|}\right).
Cada termo é não negativo; se as cargas forem positivas, cada parcela é positiva. Se as cargas forem ambas negativas, cada parcela é negativa (mesma conclusão quanto ao sinal fixo).
(a)(i) Pontos onde V(x)=0 ?
  • Como cada parcela \dfrac{1}{|x\pm a|} é estritamente positiva para todo x finito (distâncias não nulas), a soma das duas parcelas é estritamente positiva se Q>0 e estritamente negativa se Q<0. Logo não existe ponto finito x tal que V(x)=0.
  • A única “posição” onde o potencial é igual a zero, no sentido de limite, é no infinito: \displaystyle \lim_{|x|\to\infty}V(x)=0. Portanto, não há pontos finitos com V=0.
  • Pergunta extra: o campo elétrico é zero nesses pontos? No infinito, o campo também tende a zero: \displaystyle \lim_{|x|\to\infty}E(x)=0. Mas não existe ponto finito com V=0, então a pergunta sobre “o campo ser zero nesses pontos” reduz-se a dizer que, no infinito (onde V=0 por limite), o campo também tende a zero.
(a)(ii) Pontos onde E(x)=0 ?
  • Pelo argumento de simetria: para duas cargas iguais e de mesmo sinal, existe um ponto simétrico (o ponto médio x=0) onde as magnitudes dos campos gerados por cada carga são iguais e os sentidos são opostos; assim eles se cancelam exatamente no ponto médio.
  • Para verificar com contagem de sentidos: se as cargas estão em x=-a e x=+a,
    • para x entre -a e +a (região interna), os campos de cada carga apontam em sentidos opostos; fora da região interna (à esquerda de -a ou à direita de +a) os campos das duas cargas apontam no mesmo sentido e não se anulam.
    • entre -a e +a, a única posição em que as distâncias às duas cargas são iguais é x=0; aí os módulos dos campos são iguais e sentidos opostos, cancelando-se.
  • Portanto existe exatamente um ponto finito com E=0 sobre a reta: o ponto médio x=0.
  • Verificação do valor do potencial nesse ponto:
V(0)=kQ\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{a}\right)=\frac{2kQ}{a}=\frac{4kQ}{d},
que não é zero (é positivo se Q>0, negativo se Q<0). Assim: no ponto onde E=0 o potencial não é zero.
Resumo do caso (a):
  • Pontos com V=0 (relativo ao infinito): nenhum ponto finito; apenas V\to0 quando |x|\to\infty. No infinito o campo também tende a zero.
  • Pontos com E=0: o único ponto finito é o ponto médio x=0. Nesse ponto V\neq0.

Passo 4

Escrevo as expressões:
  • Potencial total em x:
V(x)=k\frac{Q}{|x+a|}+k\frac{-Q}{|x-a|}=kQ\!\left(\frac{1}{|x+a|}-\frac{1}{|x-a|}\right).
(b)(i) Pontos onde V(x)=0 ?
  • A equação V(x)=0
\frac{1}{|x+a|}=\frac{1}{|x-a|}\quad\Longrightarrow\quad |x+a|=|x-a|.
  • Em geometria uma igualdade de distâncias a dois pontos significa que o ponto está no lugar geométrico equidistante das duas cargas. Sobre a reta que contém as cargas, isso ocorre exatamente no ponto médio x=0 (porque a única posição da reta com distância igual a |x+a|=|x-a| é x=0).
  • Logo existe exatamente um ponto finito com V=0 sobre a reta: o ponto médio x=0.
  • Pergunta extra: o campo elétrico é zero nesse ponto?
    • Calculemos os sentidos: no ponto médio, a contribuição do +Q aponta para longe do +Q (do lado direito), e a contribuição do -Q aponta para o -Q (também para a direita). Assim, as duas contribuições têm o mesmo sentido e se somam — não se cancelam.
    • Valor do campo no ponto médio (módulo):
E(0)=k\frac{Q}{a^2}+k\frac{Q}{a^2}=\frac{2kQ}{a^2}=\frac{8kQ}{d^2}
(com sinal apropriado para o sentido; o importante é que é não nulo).
  • Portanto, no ponto onde V=0 (o ponto médio) o campo elétrico é diferente de zero.
(b)(ii) Pontos onde E(x)=0 ?
  • Vamos analisar os sentidos e tentar ver se há solução finita sobre a reta. Intuitivamente:
    • Entre as cargas ( -a<x<+a): o campo gerado pela carga positiva aponta para fora do positivo (ou seja, do lado do ponto médio aponta para a direita se +Q estiver à esquerda) e o campo gerado pelo negativo aponta em direção ao negativo — no ponto entre as cargas ambos os campos têm o mesmo sentido, logo não se anulam.
    • Fora do segmento (à esquerda de -a ou à direita de +a): as contribuições das cargas têm sentidos opostos, então poder-se-ia imaginar um ponto de anulação. Vamos resolver de forma mais sistemática:
      • Para x>a (à direita), os sinais de (x+a) e (x-a) são positivos, e a condição E(x)=0 reduz-se a
\frac{1}{(x+a)^2}=\frac{1}{(x-a)^2}\quad\Longrightarrow\quad |x+a|=|x-a|,
o que leva a x=0, que não está na região x>a. Portanto nenhuma solução em x>a.
- Para x<-a (à esquerda), ambos (x+a) e (x-a) são negativos; de novo a condição se reduz à mesma igualdade de módulos e resulta em x=0, que não pertence à região x<-a. Portanto nenhuma solução em x<-a.
- Para -a<x<a (entre as cargas) já argumentamos que os campos têm o mesmo sentido e não se anulam.
  • Conclusão: não existe ponto finito sobre a reta em que E=0 quando as cargas têm sinais opostos e mesmo módulo. O único “ponto” onde E pode ser considerado zero é no infinito, no sentido de limite: \lim_{|x|\to\infty}E(x)=0.
  • Pergunta extra: o potencial nesses pontos (onde E=0) — como não há ponto finito com E=0, a única correspondência é o infinito, onde \lim_{|x|\to\infty}V(x)=0. Portanto no infinito tanto E quanto V tendem a zero.

Passo 5

Recapitulando, com ênfase nas respostas diretas pedidas pelo enunciado:
  • Caso (a) cargas com mesmo sinal:
    • Não existe ponto finito onde V=0 (apenas V\to0 quando |x|\to\infty; nesse limite E\to0 também).
    • Existe exatamente um ponto finito onde E=0, o ponto médio x=0. Nesse ponto o potencial não é zero: V(0)=\dfrac{4kQ}{d}.
  • Caso (b) cargas com sinais opostos (mesmo módulo):
    • Existe exatamente um ponto finito onde V=0: o ponto médio x=0. Nesse ponto o campo elétrico não é zero; de fato E(0)=\dfrac{8kQ}{d^2} em magnitude (não nulo).
    • Não existe ponto finito sobre a reta onde E=0. O campo só tende a zero no infinito; o potencial também tende a zero no infinito.

Resposta

(a)(i) Nenhum ponto finito; só V\to0 quando |x|\to\infty. No infinito o campo também tende a zero.
(a)(ii) E=0 apenas no ponto médio x=0. Nesse ponto V(0)=\dfrac{4kQ}{d}\neq0.
(b)(i) V=0 apenas no ponto médio x=0. Nesse ponto E(0)\neq0 (valor \dfrac{8kQ}{d^2} em magnitude).
(b)(ii) Não há ponto finito sobre a reta com E=0; apenas E\to0 quando |x|\to\infty (e aí V\to0 também).

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