23.68 •• CALC A disk with radius
has uniform surface charge density
. (a) By regarding the disk as a series of thin concentric rings, calculate the electric potential
at a point on the disk’s axis a distance
from the center of the disk. Assume that the potential is zero at infinity. (Hint: Use the result of Example 23.11 in Section 23.3.) (b) Calculate
. Show that the result agrees with the expression for
calculated in Example 21.11 (Section 21.5).
Passo 1
O enunciado dá um disco de raio
com densidade superficial de carga uniforme
. Pede duas coisas:
- (a) Calcular o potencial elétrico
em um ponto do eixo do disco, a uma distância do centro do disco, assumindo . - (b) Calcular
e mostrar que o resultado concorda com a expressão de conhecida para o campo no eixo do disco.
Informações relevantes dadas:
- Raio do disco:
. - Densidade superficial de carga:
(constante). - Ponto onde queremos
: sobre o eixo do disco, a distância do centro. Tomaremos para simplificar (se basta usar quando necessário). - Condição de referência do potencial:
. - Dica: tratar o disco como uma soma (integral) de anéis concêntricos finos.
Passo 2
Revisando o que vamos usar (aula rápida): potencial de um conjunto de cargas é a soma (superposição) das contribuições escalares de cada elemento de carga. Para um pequeno elemento de carga
localizado a uma distância
do ponto onde queremos o potencial, a contribuição é
onde
é a constante de permissividade do vácuo. Isso vale porque potencial é escalar e soma-se diretamente (não há direção aqui).
Um exemplo importante (muito usado): o potencial no eixo de um anel de raio
com carga total
é
pois todos os elementos
do anel estão à mesma distância
do ponto do eixo. Vamos usar esse resultado tratando o disco como muitos anéis infinitesimais de raio
e largura
.
Passo 3
Descrito o esquema: considere um anel de raio
e largura radial
dentro do disco. A área desse anel é a circunferência vezes a largura:
Como a densidade superficial é
, a carga do anel é
Cada ponto desse anel está à distância
do ponto no eixo a distância
. Então a contribuição de potencial desse anel, pelo resultado do anel, é
Passo 4
Substituindo
em
e simplificando constantes:
Para obter o potencial total no ponto do eixo somamos (integramos) todos os anéis de
até
:
Passo 5
Agora calculamos a integral. Façamos a substituição simples:
Quando
,
. Quando
,
. A integral fica
Como tomamos
,
. Logo a integral vale
.
Passo 6
Substituindo o resultado da integral em
, obtemos
Comentário físico rápido: essa expressão dá
porque para
o termo
, então
. Se
for negativo, a forma geral é com
:
Passo 7
Agora calculamos
. Diferenciando a expressão (para
, usar
em vez de
):
Portanto
Multiplicando por
:
Passo 8
Interpretação e comparação com o campo conhecido: o campo elétrico no eixo do disco, na direção
-positivo, é exatamente
para
. Este é o resultado padrão (por exemplo, o que aparece no Example 21.11). Assim mostramos que
, ou seja, a relação entre campo e potencial é satisfeita e o resultado coincide com a expressão de
calculada por integração direta do campo.
Resposta
(a)
\n(b)