23.68 •• CALC A disk with radius R has uniform surface charge density \sigma. (a) By regarding the disk as a series of thin concentric rings, calculate the electric potential V at a point on the disk’s axis a distance x from the center of the disk. Assume that the potential is zero at infinity. (Hint: Use the result of Example 23.11 in Section 23.3.) (b) Calculate -\partial V / \partial x. Show that the result agrees with the expression for E_{x} calculated in Example 21.11 (Section 21.5).

Passo 1

O enunciado dá um disco de raio R com densidade superficial de carga uniforme \sigma. Pede duas coisas:
  1. (a) Calcular o potencial elétrico V em um ponto do eixo do disco, a uma distância x do centro do disco, assumindo V(\infty)=0.
  2. (b) Calcular -\partial V/\partial x e mostrar que o resultado concorda com a expressão de E_{x} conhecida para o campo no eixo do disco.
Informações relevantes dadas:
  • Raio do disco: R.
  • Densidade superficial de carga: \sigma (constante).
  • Ponto onde queremos V: sobre o eixo do disco, a distância x do centro. Tomaremos x\ge 0 para simplificar (se x<0 basta usar |x| quando necessário).
  • Condição de referência do potencial: V(\infty)=0.
  • Dica: tratar o disco como uma soma (integral) de anéis concêntricos finos.

Passo 2

Revisando o que vamos usar (aula rápida): potencial de um conjunto de cargas é a soma (superposição) das contribuições escalares de cada elemento de carga. Para um pequeno elemento de carga dq localizado a uma distância s do ponto onde queremos o potencial, a contribuição é
dV = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{dq}{s},
onde \varepsilon_0 é a constante de permissividade do vácuo. Isso vale porque potencial é escalar e soma-se diretamente (não há direção aqui).
Um exemplo importante (muito usado): o potencial no eixo de um anel de raio a com carga total q é
V_{\text{anel}}(x) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{\sqrt{a^2 + x^2}},
pois todos os elementos dq do anel estão à mesma distância \sqrt{a^2+x^2} do ponto do eixo. Vamos usar esse resultado tratando o disco como muitos anéis infinitesimais de raio r e largura dr.

Passo 3

Descrito o esquema: considere um anel de raio r e largura radial dr dentro do disco. A área desse anel é a circunferência vezes a largura:
\text{Área do anel} = 2\pi r\,dr.Á
Como a densidade superficial é \sigma, a carga do anel é
dq = \sigma\,(2\pi r\,dr).
Cada ponto desse anel está à distância \sqrt{r^2 + x^2} do ponto no eixo a distância x. Então a contribuição de potencial desse anel, pelo resultado do anel, é
dV = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{dq}{\sqrt{r^2 + x^2}}.

Passo 4

Substituindo dq em dV e simplificando constantes:
dV = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\sigma\,(2\pi r\,dr)}{\sqrt{r^2 + x^2}} = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\cdot\frac{r\,dr}{\sqrt{r^2 + x^2}}.
Para obter o potencial total no ponto do eixo somamos (integramos) todos os anéis de r=0 até r=R:
V(x)=\int_{0}^{R} dV = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\int_{0}^{R}\frac{r\,dr}{\sqrt{r^2 + x^2}}.

Passo 5

Agora calculamos a integral. Façamos a substituição simples:
u = r^2 + x^2 \quad\Rightarrow\quad du = 2r\,dr \quad\Rightarrow\quad r\,dr = \frac{1}{2}\,du.
Quando r=0, u=x^2. Quando r=R, u=R^2 + x^2. A integral fica
\int_{0}^{R}\frac{r\,dr}{\sqrt{r^2 + x^2}} = \int_{u=x^2}^{u=R^2+x^2}\frac{1}{2}\frac{du}{\sqrt{u}} = \frac{1}{2}\left[2\sqrt{u}\right]_{x^2}^{R^2+x^2} = \sqrt{R^2 + x^2} - \sqrt{x^2}.
Como tomamos x\ge 0, \sqrt{x^2}=x. Logo a integral vale \sqrt{R^2 + x^2} - x.

Passo 6

Substituindo o resultado da integral em V(x), obtemos
V(x)=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\bigl(\sqrt{R^2 + x^2} - x\bigr).
Comentário físico rápido: essa expressão dá V(\infty)=0 porque para x\to\infty o termo \sqrt{R^2+x^2}\sim x+\tfrac{R^2}{2x}+\cdots, então \sqrt{R^2+x^2}-x\to 0. Se x for negativo, a forma geral é com |x|:
V(x)=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\bigl(\sqrt{R^2 + x^2} - |x|\bigr).

Passo 7

Agora calculamos -\partial V/\partial x. Diferenciando a expressão (para x>0, usar x em vez de |x|):
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(\sqrt{R^2 + x^2}\bigr)=\frac{x}{\sqrt{R^2 + x^2}}, \qquad \frac{\partial}{\partial x}(x)=1.
Portanto
\frac{\partial V}{\partial x}=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\left(\frac{x}{\sqrt{R^2 + x^2}} - 1\right).
Multiplicando por -1:
-\frac{\partial V}{\partial x}=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\left(1 - \frac{x}{\sqrt{R^2 + x^2}}\right).

Passo 8

Interpretação e comparação com o campo conhecido: o campo elétrico no eixo do disco, na direção x-positivo, é exatamente
E_x(x)=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\left(1 - \frac{x}{\sqrt{R^2 + x^2}}\right),
para x\ge 0. Este é o resultado padrão (por exemplo, o que aparece no Example 21.11). Assim mostramos que E_x = -\partial V/\partial x, ou seja, a relação entre campo e potencial é satisfeita e o resultado coincide com a expressão de E_x calculada por integração direta do campo.

Resposta

(a) \displaystyle V(x)=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\bigl(\sqrt{R^2 + x^2}-|x|\bigr)\n(b) \displaystyle -\frac{\partial V}{\partial x}=E_{x}(x)=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\!\left(1-\frac{x}{\sqrt{R^2+x^2}}\right)

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