Enucie e demonstre o teorema de Stokes em
Passo 1
O que o problema pede: enunciar e demonstrar o Teorema de Stokes em
.
Informações e hipóteses relevantes que vamos usar:
- Temos uma superfície
que é suave (pelo menos de classe ), orientável e possui fronteira que é uma curva fechada suave (ou uma união finita de curvas suaves). - A curva
é orientada de forma consistente com a orientação escolhida para (orientação induzida). - Temos um campo vetorial
de classe definido em um aberto que contém . - O objetivo é provar a igualdade entre a integral de linha (circulação) de
ao longo de e a integral de superfície do rotacional de sobre .
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vou usar (explicadas passo a passo, sem pular etapas).
- Integral de linha (circulação) de um campo vetorial
ao longo de uma curva orientada :
Aqui
são os incrementos das coordenadas ao percorrer a curva
.
- Integral de superfície de um campo vetorial (no caso, do rotacional) sobre uma superfície parametrizada. Se
é uma parametrização de (com variando em uma região do plano), então o elemento de área vetorial é
onde
e
. A integral de superfície de um campo
é
- Rotacional (curl) de
:
-
Orientação compatível: se escolhemos uma normal unitária
em , a orientação positiva de é aquela que, quando caminhamos ao longo de segundo essa orientação, deixa à nossa esquerda (regra da mão direita). Na prática, ao parametrizar pela projeção no domínio dos parâmetros, essa convenção determina o sinal. -
Teorema de Green (plano): para uma região
do plano com fronteira orientada positivamente (contrário ao sentido horário), e funções de classe ,
Vou usar este teorema ao reduzir Stokes para o caso de superfície que é gráfico de uma função.
Passo 3
Enunciado formal do Teorema de Stokes que vamos provar:
Se
é uma superfície suave orientável em
com fronteira
e
é um campo de classe
definido em um aberto
contendo
, então, com orientações compatíveis,
Passo 4
Estratégia da demonstração (visão geral, antes de entrar no cálculo):
- Primeiro vou provar o teorema para um caso simples:
é o gráfico de uma função sobre uma região plana . Nesse caso consigo parametrizar pela projeção no plano e reduzir a igualdade à identida de Green no plano. - Depois explico como estender o resultado para uma superfície geral, cobrindo-a por patches que são gráficos locais e somando as contribuições; as fronteiras internas das patches se cancelam por causa das orientações opostas, sobrando apenas a fronteira externa
. - Esse método é o clássico: prova local + soma por partes que elimina as fronteiras internas.
Passo 5
Prova do caso especial:
é gráfico de
sobre
.
- Parametrização. Defina
Então
O elemento de área vetorial (não normalizado) é
(Aqui
aponta na direção “para cima” se escolhermos a orientação positiva dessa forma.)
- Calcular o integrando de superfície. Seja
. Então o rotacional é
O produto escalar que aparece na integral de superfície é
Vamos expandir esse produto detalhadamente. Substituindo,
Reorganizando os termos:
Observação importante: todas as derivadas parciais
etc. são avaliadas em
quando estamos restringindo o campo
à superfície.
- Expressão da integral de superfície como integral dupla no plano. Assim a integral de superfície fica
onde
.
- Expressão da integral de linha sobre
via projeção em . Ao percorrer a curva projetada no plano é . Ao longo de temos . Logo, a integral de linha sobre pode ser escrita como
Aqui eu usei explicitamente o fato de que a curva em
tem coordenadas
, então
se expressa em termos de
.
- Aplicar Teorema de Green na região
. Pelo Teorema de Green temos
- Mostrar que o integrando dado pelo rotacional coincide com a expressão de Green. Agora calculamos explicitamente a diferença das derivadas no lado direito de Green, lembrando que as funções
e aparecem avaliadas na superfície (uso da regra da cadeia). Depois de expandir e agrupar os termos obtemos exatamente
que é precisamente a expressão que obtivemos para
no passo 2. Portanto, integrando em
,
- Conclusão do caso gráfico. Combinando os passos, temos
quando
é o gráfico de
. Isso prova o teorema para esse caso modelo.
Passo 6
Extensão para uma superfície suave geral (esboço detalhado e intuitivo, que é o passo padrão para completar a prova).
-
Cobertura por patches gráficos. Uma superfície suave
compacta com fronteira pode ser coberta por um número finito de abertos tais que cada porção é difeomorfa a um domínio e pode ser parametrizada como gráfico localmente (ou seja, cada patch é equivalente ao caso já provado após escolher coordenadas apropriadas). Isso é garantido pela suavidade e orientabilidade de . -
Aplicar resultado local. Em cada patch
aplicamos a igualdade
porque cada
é localmente um gráfico (ou pode ser orientado de modo compatível com o gráfico).
- Somar sobre as patches. Somando as igualdades para todos os patches obtemos
-
Cancelamento das fronteiras internas. As fronteiras internas entre dois patches aparecem em duas integrais de linha com orientações contrárias (porque as orientações das duas patches são compatíveis com a orientação da superfície, o que faz com que a mesma curva interna seja percorrida em sentidos opostos nas duas integrais de linha). Portanto essas integrais de linha sobre fronteiras internas cancelam-se por pares. O único contorno que não é cancelado é a fronteira externa
. -
Resultado final. Depois do cancelamento, do lado esquerdo sobra apenas
e do direito a soma das integrais sobre os patches é a integral sobre toda a superfície . Assim obtemos a identidade global
Observação sobre regularidade: a prova exige que
seja
e que
seja suficientemente suave para garantir as parametrizações locais e aplicação do Teorema de Green nas projeções. Essas hipóteses são as usadas comummente no enunciado do Teorema de Stokes.
Passo 7
Comentário final didático e exemplo rápido para fixar a intuição.
- Intuição: o Teorema de Stokes diz que a circulação total de um campo em torno da borda de uma superfície é igual à soma (integral) das pequenas circulações (medidas pelo rotacional) dentro da superfície. É a versão em 3D da identidade “somatório das rotações locais = rotação total na fronteira”.
- Exemplo simples: se
então . Para qualquer superfície plana com fronteira no plano , a integral de superfície do rotacional é a área de (porque ), e a integral de linha ao longo de também dá essa área por cálculo direto — é um bom exercício verificar esse caso concreto e ver como Stokes funciona.
Resposta
Hipóteses: