Enucie e demonstre o teorema de Stokes em R^{3}

Passo 1

O que o problema pede: enunciar e demonstrar o Teorema de Stokes em \mathbb{R}^3.
Informações e hipóteses relevantes que vamos usar:
  • Temos uma superfície S\subset\mathbb{R}^3 que é suave (pelo menos de classe C^2), orientável e possui fronteira \partial S que é uma curva fechada suave (ou uma união finita de curvas suaves).
  • A curva \partial S é orientada de forma consistente com a orientação escolhida para S (orientação induzida).
  • Temos um campo vetorial \mathbf{F}:\Omega\to\mathbb{R}^3 de classe C^1 definido em um aberto \Omega que contém S.
  • O objetivo é provar a igualdade entre a integral de linha (circulação) de \mathbf{F} ao longo de \partial S e a integral de superfície do rotacional de \mathbf{F} sobre S.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vou usar (explicadas passo a passo, sem pular etapas).
  1. Integral de linha (circulação) de um campo vetorial \mathbf{F}=(P,Q,R) ao longo de uma curva orientada \gamma:
\oint_{\gamma}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\oint_{\gamma} P\,dx+Q\,dy+R\,dz.
Aqui dx,dy,dz são os incrementos das coordenadas ao percorrer a curva \gamma.
  1. Integral de superfície de um campo vetorial (no caso, do rotacional) sobre uma superfície parametrizada. Se \mathbf{r}(u,v) é uma parametrização de S (com (u,v) variando em uma região D do plano), então o elemento de área vetorial é
d\mathbf{S}=\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v\,du\,dv,
onde \mathbf{r}_u=\partial\mathbf{r}/\partial u e \mathbf{r}_v=\partial\mathbf{r}/\partial v. A integral de superfície de um campo \mathbf{G} é
\iint_{S}\mathbf{G}\cdot d\mathbf{S}=\iint_{D}\mathbf{G}(\mathbf{r}(u,v))\cdot(\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v)\,du\,dv.
  1. Rotacional (curl) de \mathbf{F}=(P,Q,R):
\nabla\times\mathbf{F}=\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\;\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\;\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right).
  1. Orientação compatível: se escolhemos uma normal unitária \mathbf{n} em S, a orientação positiva de \partial S é aquela que, quando caminhamos ao longo de \partial S segundo essa orientação, deixa \mathbf{n} à nossa esquerda (regra da mão direita). Na prática, ao parametrizar \partial S pela projeção no domínio dos parâmetros, essa convenção determina o sinal.
  2. Teorema de Green (plano): para uma região D do plano com fronteira \partial D orientada positivamente (contrário ao sentido horário), e funções A(x,y),B(x,y) de classe C^1,
\oint_{\partial D} A\,dx + B\,dy = \iint_{D}\left(\frac{\partial B}{\partial x}-\frac{\partial A}{\partial y}\right)\,dA.
Vou usar este teorema ao reduzir Stokes para o caso de superfície que é gráfico de uma função.

Passo 3

Enunciado formal do Teorema de Stokes que vamos provar:
Se S é uma superfície suave orientável em \mathbb{R}^3 com fronteira \partial S e \mathbf{F}:\Omega\to\mathbb{R}^3 é um campo de classe C^1 definido em um aberto \Omega contendo S, então, com orientações compatíveis,
\oint_{\partial S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\iint_{S}(\nabla\times\mathbf{F})\cdot d\mathbf{S}.

Passo 4

Estratégia da demonstração (visão geral, antes de entrar no cálculo):
  • Primeiro vou provar o teorema para um caso simples: S é o gráfico de uma função z=g(x,y) sobre uma região plana D\subset\mathbb{R}^2. Nesse caso consigo parametrizar S pela projeção no plano xy e reduzir a igualdade à identida de Green no plano.
  • Depois explico como estender o resultado para uma superfície geral, cobrindo-a por patches que são gráficos locais e somando as contribuições; as fronteiras internas das patches se cancelam por causa das orientações opostas, sobrando apenas a fronteira externa \partial S.
  • Esse método é o clássico: prova local + soma por partes que elimina as fronteiras internas.

Passo 5

Prova do caso especial: S é gráfico de z=g(x,y) sobre D.
  1. Parametrização. Defina
\mathbf{r}(x,y)=(x,y,g(x,y)),\qquad (x,y)\in D.
Então
\mathbf{r}_x=(1,0,g_x),\qquad \mathbf{r}_y=(0,1,g_y).
O elemento de área vetorial (não normalizado) é
\mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y = (-g_x,-g_y,1).
(Aqui \mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y aponta na direção “para cima” se escolhermos a orientação positiva dessa forma.)
  1. Calcular o integrando de superfície. Seja \mathbf{F}=(P,Q,R). Então o rotacional é
\nabla\times\mathbf{F}=(R_y-Q_z,\;P_z-R_x,\;Q_x-P_y).
O produto escalar que aparece na integral de superfície é
(\nabla\times\mathbf{F})\cdot(\mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y).
Vamos expandir esse produto detalhadamente. Substituindo,
(\nabla\times\mathbf{F})\cdot(\mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y) =(R_y-Q_z)(-g_x)+(P_z-R_x)(-g_y)+(Q_x-P_y)\cdot 1.
Reorganizando os termos:
(\nabla\times\mathbf{F})\cdot(\mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y)=Q_x-P_y+Q_z g_x - P_z g_y + R_x g_y - R_y g_x.
Observação importante: todas as derivadas parciais P_x,P_z etc. são avaliadas em (x,y,z)=(x,y,g(x,y)) quando estamos restringindo o campo \mathbf{F} à superfície.
  1. Expressão da integral de superfície como integral dupla no plano. Assim a integral de superfície fica
\iint_{S}(\nabla\times\mathbf{F})\cdot d\mathbf{S} =\iint_{D} \bigl[(\nabla\times\mathbf{F})\cdot(\mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y)\bigr]\,dA,
onde dA=dx\,dy.
  1. Expressão da integral de linha sobre \partial S via projeção em \partial D. Ao percorrer \partial S a curva projetada no plano xy é \partial D. Ao longo de \partial S temos dz=g_x\,dx+g_y\,dy. Logo, a integral de linha sobre \partial S pode ser escrita como
\oint_{\partial S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =\oint_{\partial D} P\,dx+Q\,dy+R\,dz =\oint_{\partial D} \bigl(P+R g_x\bigr)\,dx + \bigl(Q+R g_y\bigr)\,dy.
Aqui eu usei explicitamente o fato de que a curva em S tem coordenadas (x,y,g(x,y)), então dz se expressa em termos de dx,dy.
  1. Aplicar Teorema de Green na região D. Pelo Teorema de Green temos
\oint_{\partial D} \bigl(P+R g_x\bigr)\,dx + \bigl(Q+R g_y\bigr)\,dy =\iint_{D}\left(\frac{\partial}{\partial x}\bigl(Q+R g_y\bigr)-\frac{\partial}{\partial y}\bigl(P+R g_x\bigr)\right)\,dA.
  1. Mostrar que o integrando dado pelo rotacional coincide com a expressão de Green. Agora calculamos explicitamente a diferença das derivadas no lado direito de Green, lembrando que as funções P,Q,R e g aparecem avaliadas na superfície (uso da regra da cadeia). Depois de expandir e agrupar os termos obtemos exatamente
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(Q+R g_y\bigr)-\frac{\partial}{\partial y}\bigl(P+R g_x\bigr) =Q_x-P_y+Q_z g_x - P_z g_y + R_x g_y - R_y g_x,
que é precisamente a expressão que obtivemos para (\nabla\times\mathbf{F})\cdot(\mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y) no passo 2. Portanto, integrando em D,
\iint_{D}\bigl[(\nabla\times\mathbf{F})\cdot(\mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y)\bigr]\,dA =\iint_{D}\left(\frac{\partial}{\partial x}\bigl(Q+R g_y\bigr)-\frac{\partial}{\partial y}\bigl(P+R g_x\bigr)\right)\,dA.
  1. Conclusão do caso gráfico. Combinando os passos, temos
\oint_{\partial S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\iint_{S}(\nabla\times\mathbf{F})\cdot d\mathbf{S},
quando S é o gráfico de z=g(x,y). Isso prova o teorema para esse caso modelo.

Passo 6

Extensão para uma superfície suave geral (esboço detalhado e intuitivo, que é o passo padrão para completar a prova).
  1. Cobertura por patches gráficos. Uma superfície suave S compacta com fronteira pode ser coberta por um número finito de abertos U_i tais que cada porção S_i=S\cap U_i é difeomorfa a um domínio D_i\subset\mathbb{R}^2 e pode ser parametrizada como gráfico localmente (ou seja, cada patch é equivalente ao caso já provado após escolher coordenadas apropriadas). Isso é garantido pela suavidade e orientabilidade de S.
  2. Aplicar resultado local. Em cada patch S_i aplicamos a igualdade
\oint_{\partial S_i}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\iint_{S_i}(\nabla\times\mathbf{F})\cdot d\mathbf{S},
porque cada S_i é localmente um gráfico (ou pode ser orientado de modo compatível com o gráfico).
  1. Somar sobre as patches. Somando as igualdades para todos os patches obtemos
\sum_i \oint_{\partial S_i}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \sum_i \iint_{S_i}(\nabla\times\mathbf{F})\cdot d\mathbf{S}.
  1. Cancelamento das fronteiras internas. As fronteiras internas entre dois patches aparecem em duas integrais de linha com orientações contrárias (porque as orientações das duas patches são compatíveis com a orientação da superfície, o que faz com que a mesma curva interna seja percorrida em sentidos opostos nas duas integrais de linha). Portanto essas integrais de linha sobre fronteiras internas cancelam-se por pares. O único contorno que não é cancelado é a fronteira externa \partial S.
  2. Resultado final. Depois do cancelamento, do lado esquerdo sobra apenas \oint_{\partial S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} e do direito a soma das integrais sobre os patches é a integral sobre toda a superfície S. Assim obtemos a identidade global
\oint_{\partial S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\iint_{S}(\nabla\times\mathbf{F})\cdot d\mathbf{S}.
Observação sobre regularidade: a prova exige que \mathbf{F} seja C^1 e que S seja suficientemente suave para garantir as parametrizações locais e aplicação do Teorema de Green nas projeções. Essas hipóteses são as usadas comummente no enunciado do Teorema de Stokes.

Passo 7

Comentário final didático e exemplo rápido para fixar a intuição.
  • Intuição: o Teorema de Stokes diz que a circulação total de um campo em torno da borda de uma superfície é igual à soma (integral) das pequenas circulações (medidas pelo rotacional) dentro da superfície. É a versão em 3D da identidade “somatório das rotações locais = rotação total na fronteira”.
  • Exemplo simples: se \mathbf{F}=(-y/2,x/2,0) então \nabla\times\mathbf{F}=(0,0,1). Para qualquer superfície plana S com fronteira \partial S no plano z=0, a integral de superfície do rotacional é a área de S (porque (\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}=1), e a integral de linha ao longo de \partial S também dá essa área por cálculo direto — é um bom exercício verificar esse caso concreto e ver como Stokes funciona.

Resposta

\displaystyle \oint_{\partial S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\iint_{S}(\nabla\times\mathbf{F})\cdot d\mathbf{S}.
Hipóteses: S é superfície suave orientável com fronteira \partial S, e \mathbf{F} é de classe C^1 em um aberto que contém S.

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