Verifique se o teorema do divergente é verdadeiro para o campo vetorial F na região E
\mathbf{F}(x, y, z)=x^{2} \mathbf{i}+x y \mathbf{j}+z \mathbf{k}. onde E é o cubo limitado pelos planos x=0, x=1, y=0, y=1, z=0, z=1

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial \mathbf{F} e a região E e pede para verificar se o Teorema do Divergente vale para esse par. Informações relevantes:
  • O campo vetorial é \mathbf{F}(x,y,z)=x^{2}\mathbf{i}+xy\mathbf{j}+z\mathbf{k}.
  • A região E é o cubo unitário fechado limitado pelos planos x=0,\;x=1,\;y=0,\;y=1,\;z=0,\;z=1. Ou seja, E=\{(x,y,z)\mid 0\le x\le1,\;0\le y\le1,\;0\le z\le1\}.
  • O que nos pedem: verificar se o Teorema do Divergente (Gauss) é verdadeiro para esse campo e essa região — isto é, verificar se o fluxo de \mathbf{F} através da fronteira \partial E é igual à integral tripla do divergente de \mathbf{F} sobre E.

Passo 2

Vou enunciar o Teorema do Divergente e explicar os símbolos para ficar claro o que vamos comparar. O Teorema do Divergente diz:
\iint_{\partial E}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS \;=\; \iiint_{E}\nabla\cdot\mathbf{F}\,dV.
Explicando cada símbolo:
  • \partial E é a superfície que limita E (a fronteira do cubo).
  • \mathbf{n} é o vetor normal unitário à superfície \partial E, apontando para fora de E (normal externa).
  • \mathbf{F}\cdot\mathbf{n} é o produto escalar do campo com a normal — a componente de \mathbf{F} que sai/entra pela superfície.
  • dS é o elemento de área da superfície.
  • \nabla\cdot\mathbf{F} é a divergência de \mathbf{F}, definida como a soma das derivadas parciais das componentes: \nabla\cdot\mathbf{F}=\dfrac{\partial F_x}{\partial x}+\dfrac{\partial F_y}{\partial y}+\dfrac{\partial F_z}{\partial z}.
  • dV é o elemento de volume (no caso do cubo, dV=dx\,dy\,dz).
Estratégia: calcular os dois lados da igualdade explicitamente — primeiro a integral tripla do divergente (geralmente mais direto), depois o fluxo pela superfície somando os fluxos nas seis faces do cubo — e comparar os resultados.

Passo 3

Calcular a divergência \nabla\cdot\mathbf{F}. As componentes de \mathbf{F} são F_x=x^{2}, F_y=xy, F_z=z. Então:
\nabla\cdot\mathbf{F}=\frac{\partial}{\partial x}(x^{2})+\frac{\partial}{\partial y}(xy)+\frac{\partial}{\partial z}(z).
Agora as derivadas parciais, uma a uma:
  • \dfrac{\partial}{\partial x}(x^{2})=2x porque a derivada de x^{2} em relação a x é 2x.
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(xy)=x porque x é tratado como constante ao derivar em relação a y.
  • \dfrac{\partial}{\partial z}(z)=1.
    Somando:
\nabla\cdot\mathbf{F}=2x+x+1=3x+1.

Passo 4

Calcular a integral tripla \displaystyle \iiint_{E}\nabla\cdot\mathbf{F}\,dV. Como \nabla\cdot\mathbf{F}=3x+1 depende só de x, o integral sobre y e z apenas multiplicará por 1 (cada um de 0 a 1). Assim:
\iiint_{E}(3x+1)\,dV=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}(3x+1)\,dz\,dy\,dx.
Integrando em z e y primeiro (cada integral dá fator 1):
\iiint_{E}(3x+1)\,dV=\int_{0}^{1}(3x+1)\,dx.
Agora integraremos em x:
\int_{0}^{1}(3x+1)\,dx=\left[\frac{3x^{2}}{2}+x\right]_{0}^{1}=\frac{3}{2}+1=\frac{5}{2}.
Portanto a integral do divergente sobre E é \dfrac{5}{2}.

Passo 5

Agora vamos calcular diretamente o fluxo de \mathbf{F} através da fronteira \partial E, somando as contribuições das seis faces do cubo. Em cada face tomamos a normal unitária externa e calculamos \iint_{\text{face}}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS.
Faces paralelas ao plano yz (faces em x=0 e x=1):
  • Face x=1: normal externa \mathbf{n}=(1,0,0). Em x=1 temos \mathbf{F}=(1^{2},\,1\cdot y,\,z)=(1,\,y,\,z). Então \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}=1. Integrando sobre y\in[0,1],\,z\in[0,1]:
\iint_{x=1}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}1\,dy\,dz=1.
  • Face x=0: normal externa \mathbf{n}=(-1,0,0). Em x=0, \mathbf{F}=(0,0,z), então \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}=-0=0. Logo contribuição zero.
Total pelas faces em x: 1+0=1.
Faces paralelas ao plano xz (faces em y=0 e y=1):
  • Face y=1: normal externa \mathbf{n}=(0,1,0). Em y=1, \mathbf{F}=(x^{2},x\cdot1,z)=(x^{2},x,z). Então \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}=x. Integrando sobre x\in[0,1],\,z\in[0,1]:
\iint_{y=1}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}x\,dx\,dz=\int_{0}^{1}x\,dx=\frac{1}{2}.
  • Face y=0: normal externa \mathbf{n}=(0,-1,0). Em y=0, \mathbf{F}=(x^{2},0,z), então \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}=-0=0. Contribuição zero.
Total pelas faces em y: \tfrac{1}{2}+0=\tfrac{1}{2}.
Faces paralelas ao plano xy (faces em z=0 e z=1):
  • Face z=1: normal externa \mathbf{n}=(0,0,1). Em z=1, \mathbf{F}=(x^{2},xy,1). Então \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}=1. Integrando sobre x,y\in[0,1]:
\iint_{z=1}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}1\,dx\,dy=1.
  • Face z=0: normal externa \mathbf{n}=(0,0,-1). Em z=0, \mathbf{F}=(x^{2},xy,0), então \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}=-0=0. Contribuição zero.
Total pelas faces em z: 1+0=1.

Passo 6

Somando as contribuições das três direções:
  • contribuição em x: 1,
  • contribuição em y: \tfrac{1}{2},
  • contribuição em z: 1.
Assim o fluxo total através de \partial E é
1+\frac{1}{2}+1=\frac{5}{2}.

Passo 7

Comparando: a integral tripla do divergente sobre E deu \dfrac{5}{2} (Passo 4) e o fluxo através da fronteira \partial E também deu \dfrac{5}{2} (Passo 6). Portanto as duas quantidades são iguais, como prevê o Teorema do Divergente.

Resposta

Sim. \displaystyle \iint_{\partial E}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS=\iiint_{E}\nabla\cdot\mathbf{F}\,dV=\frac{5}{2}.

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