Verifique se o teorema do divergente é verdadeiro para o campo vetorial F na região
. onde
é o cubo limitado pelos planos
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e a região
e pede para verificar se o Teorema do Divergente vale para esse par. Informações relevantes:
- O campo vetorial é
. - A região
é o cubo unitário fechado limitado pelos planos . Ou seja, . - O que nos pedem: verificar se o Teorema do Divergente (Gauss) é verdadeiro para esse campo e essa região — isto é, verificar se o fluxo de
através da fronteira é igual à integral tripla do divergente de sobre .
Passo 2
Vou enunciar o Teorema do Divergente e explicar os símbolos para ficar claro o que vamos comparar. O Teorema do Divergente diz:
Explicando cada símbolo:
-
é a superfície que limita (a fronteira do cubo). -
é o vetor normal unitário à superfície , apontando para fora de (normal externa). -
é o produto escalar do campo com a normal — a componente de que sai/entra pela superfície. -
é o elemento de área da superfície. -
é a divergência de , definida como a soma das derivadas parciais das componentes: . -
é o elemento de volume (no caso do cubo, ).
Estratégia: calcular os dois lados da igualdade explicitamente — primeiro a integral tripla do divergente (geralmente mais direto), depois o fluxo pela superfície somando os fluxos nas seis faces do cubo — e comparar os resultados.
Passo 3
Calcular a divergência
. As componentes de
são
,
,
. Então:
Agora as derivadas parciais, uma a uma:
-
porque a derivada de em relação a é . -
porque é tratado como constante ao derivar em relação a . -
.
Somando:
Passo 4
Calcular a integral tripla
. Como
depende só de
, o integral sobre
e
apenas multiplicará por 1 (cada um de 0 a 1). Assim:
Integrando em
e
primeiro (cada integral dá fator 1):
Agora integraremos em
:
Portanto a integral do divergente sobre
é
.
Passo 5
Agora vamos calcular diretamente o fluxo de
através da fronteira
, somando as contribuições das seis faces do cubo. Em cada face tomamos a normal unitária externa e calculamos
.
Faces paralelas ao plano
(faces em
e
):
- Face
: normal externa . Em temos . Então . Integrando sobre :
- Face
: normal externa . Em , , então . Logo contribuição zero.
Total pelas faces em
:
.
Faces paralelas ao plano
(faces em
e
):
- Face
: normal externa . Em , . Então . Integrando sobre :
- Face
: normal externa . Em , , então . Contribuição zero.
Total pelas faces em
:
.
Faces paralelas ao plano
(faces em
e
):
- Face
: normal externa . Em , . Então . Integrando sobre :
- Face
: normal externa . Em , , então . Contribuição zero.
Total pelas faces em
:
.
Passo 6
Somando as contribuições das três direções:
- contribuição em
: , - contribuição em
: , - contribuição em
: .
Assim o fluxo total através de
é
Passo 7
Comparando: a integral tripla do divergente sobre
deu
(Passo 4) e o fluxo através da fronteira
também deu
(Passo 6). Portanto as duas quantidades são iguais, como prevê o Teorema do Divergente.
Resposta
Sim.
.