Enucie e demonstre o tereoma do divergente para uma função vetorial da forma \mathbf{F}=P \mathbf{i}+Q \mathbf{j}+R \mathbf{k}

Passo 1

O enunciado pede que eu enuncie e demonstre o teorema do divergente para uma função vetorial da forma \mathbf{F}=P\mathbf{i}+Q\mathbf{j}+R\mathbf{k}.
Informações dadas e hipóteses que vou usar (tudo explicitado):
  • A função vetorial é \mathbf{F}=P\mathbf{i}+Q\mathbf{j}+R\mathbf{k}, onde P,P(x,y,z), Q=Q(x,y,z) e R=R(x,y,z) são funções escalares com derivadas parciais contínuas numa vizinhança de uma região sólida V.
  • A região V é um subconjunto compacto de \mathbb{R}^3 com fronteira \partial V suave (ou peça-a-peça suave). A normal unitária exterior na superfície \partial V será denotada por \mathbf{n}.
  • O objetivo é provar a igualdade entre o fluxo de \mathbf{F} através da superfície \partial V e a integral tripla da divergência de \mathbf{F} sobre V:
    mostrar que a relação correta é a que será escrita no final da demonstração.

Passo 2

Definições e intuição (para não ficar perdido):
  • Divergência: a divergência de \mathbf{F} é a função escalar \nabla\cdot\mathbf{F}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}.Interpretação física rápida: \nabla\cdot\mathbf{F} mede a taxa local de “criação” de fluxo no ponto — se for positiva, o ponto é fonte; se for negativa, é sorvedouro.
  • Fluxo através de uma superfície: o fluxo de \mathbf{F} através de \partial V é \iint_{\partial V}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS,onde \mathbf{F}\cdot\mathbf{n} é a componente da velocidade normal à superfície e dS é o elemento de área da superfície.
  • Ideia da prova: primeiro provar a identidade em um bloco retangular (paralelepípedo) usando o Teorema Fundamental do Cálculo para as integrais das faces; depois estender a prova a regiões gerais por subdivisão em muitos pequenos blocos e passar ao limite (as faces internas se cancelam).

Passo 3

Prova no caso simples: bloco retangular B=[a,b]\times[c,d]\times[e,f].
  1. Calcular o fluxo através das duas faces com normais na direção x.
    • Face em x=b: normal exterior \mathbf{n}=\mathbf{i}. O elemento de área é dS=dy\,dz. O fluxo por essa face é \iint_{y=c}^{d}\iint_{z=e}^{f} \mathbf{F}(b,y,z)\cdot\mathbf{i}\;dz\,dy =\int_{c}^{d}\int_{e}^{f} P(b,y,z)\,dz\,dy.
    • Face em x=a: normal exterior é \mathbf{n}=-\mathbf{i}. O fluxo por essa face é \iint_{y=c}^{d}\iint_{z=e}^{f} \mathbf{F}(a,y,z)\cdot(-\mathbf{i})\;dz\,dy =-\int_{c}^{d}\int_{e}^{f} P(a,y,z)\,dz\,dy.
    • Soma das duas faces (contribuição total do componente P): \int_{c}^{d}\int_{e}^{f} \bigl(P(b,y,z)-P(a,y,z)\bigr)\,dz\,dy.
  2. Aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo em x: para cada (y,z) fixo,
    P(b,y,z)-P(a,y,z)=\int_{a}^{b}\frac{\partial P}{\partial x}(x,y,z)\,dx.
    Integrando em y e z e usando Fubini (ou iteração de integrais), obtemos
    \int_{c}^{d}\int_{e}^{f} \bigl(P(b,y,z)-P(a,y,z)\bigr)\,dz\,dy =\int_{c}^{d}\int_{e}^{f}\int_{a}^{b}\frac{\partial P}{\partial x}(x,y,z)\,dx\,dz\,dy.
    Reescrevendo como integral tripla,
    \text{fluxo associado a }P = \iiint_{B}\frac{\partial P}{\partial x}(x,y,z)\,dV,
    onde dV=dx\,dy\,dz.
  3. Fazemos o mesmo raciocínio para o componente Q (faces em y):
    as duas faces em y=d e y=c dão
    \iiint_{B}\frac{\partial Q}{\partial y}(x,y,z)\,dV.
  4. E para o componente R (faces em z):
    as duas faces em z=f e z=e dão
    \iiint_{B}\frac{\partial R}{\partial z}(x,y,z)\,dV.

Passo 4

Somando as contribuições das três direções para o bloco B obtemos
\iint_{\partial B}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS = \iiint_{B}\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)\,dV = \iiint_{B}(\nabla\cdot\mathbf{F})\,dV.
Portanto a igualdade é válida para qualquer paralelepípedo B onde P,Q,R têm derivadas parciais contínuas.

Passo 5

Extensão para uma região geral V com fronteira lisa.
  1. Subdivida V em muitos pequenos paralelepípedos B_k (ou outro tipo de células) formando uma partição V\approx\bigcup_k B_k. Em cada pequeno bloco vale a identidade do Passo 4:
    \iint_{\partial B_k}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS = \iiint_{B_k}(\nabla\cdot\mathbf{F})\,dV.
  2. Some em todos os blocos:
    \sum_k \iint_{\partial B_k}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS = \sum_k \iiint_{B_k}(\nabla\cdot\mathbf{F})\,dV.
  3. Observação crucial (cancelamento das faces internas): cada face interna pertence a exatamente dois blocos vizinhos; as normas exteriores desses dois vizinhos são opostas, logo a contribuição de fluxo através de uma face interna aparece com sinais opostos nas duas integrais de superfície e se cancela na soma. Assim, após somar sobre todos os B_k, permanecem apenas as contribuições das faces que compõem a fronteira externa \partial V. Portanto o lado esquerdo da soma tende para \iint_{\partial V}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS quando a malha é refinada.
  4. Do lado direito, a soma das integrais sobre B_k é uma soma de Riemann que tende para a integral tripla sobre V:
    \sum_k \iiint_{B_k}(\nabla\cdot\mathbf{F})\,dV \longrightarrow \iiint_{V}(\nabla\cdot\mathbf{F})\,dV
    quando o diâmetro máximo dos blocos tende a zero, pois \nabla\cdot\mathbf{F} é contínua.
  5. Passando ao limite, obtemos a igualdade desejada para V:
    \iint_{\partial V}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS = \iiint_{V}(\nabla\cdot\mathbf{F})\,dV.
  6. Condições técnicas: para justificar o passo de passar ao limite usamos que P,Q,R têm derivadas parciais contínuas em uma vizinhança de V e que \partial V é peça-a-peça suave; com isso a soma de Riemann converge e o cancelamento das faces internas é correto.

Passo 6

Exemplo curto para fixar a intuição (se quiser conferir na prova):
  • Tome \mathbf{F}=(x,0,0), isto é P(x,y,z)=x, Q=0, R=0. Então \nabla\cdot\mathbf{F}=\partial P/\partial x=1. Em qualquer região V, \iiint_V (\nabla\cdot\mathbf{F})\,dV=\iiint_V 1\,dV=\text{Vol}(V).Pelo teorema do divergente, isso deve ser igual ao fluxo de \mathbf{F} através de \partial V. Faz sentido: \mathbf{F} empurra para fora na direção x com intensidade proporcional a x, e a soma líquida disso sobre a superfície dá exatamente o volume (confira no cubo unidade para ver que funciona numericamente).

Passo 7

Resumo final e observações finais (ânimo!): o resultado que demonstramos é conhecido como Teorema do Divergente (ou Teorema de Gauss). Ele conecta uma integral de superfície (fluxo) com uma integral volumétrica (soma das fontes internas). É uma ferramenta poderosa para converter problemas de superfície em problemas de volume e vice-versa. Se você ficou meio cansado, parabéns — essa demonstração tem etapas naturais: caso simples (bloco) + particionamento + cancelamento das faces internas + limite.

Resposta

\iiint_{V}(\nabla\cdot\mathbf{F})\,dV \;=\; \iint_{\partial V}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS.

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