Enucie e demonstre o tereoma do divergente para uma função vetorial da forma
Passo 1
O enunciado pede que eu enuncie e demonstre o teorema do divergente para uma função vetorial da forma
.
Informações dadas e hipóteses que vou usar (tudo explicitado):
- A função vetorial é
, onde , e são funções escalares com derivadas parciais contínuas numa vizinhança de uma região sólida . - A região
é um subconjunto compacto de com fronteira suave (ou peça-a-peça suave). A normal unitária exterior na superfície será denotada por . - O objetivo é provar a igualdade entre o fluxo de
através da superfície e a integral tripla da divergência de sobre :
mostrar que a relação correta é a que será escrita no final da demonstração.
Passo 2
Definições e intuição (para não ficar perdido):
- Divergência: a divergência de
é a função escalar Interpretação física rápida: mede a taxa local de “criação” de fluxo no ponto — se for positiva, o ponto é fonte; se for negativa, é sorvedouro. - Fluxo através de uma superfície: o fluxo de
através de é onde é a componente da velocidade normal à superfície e é o elemento de área da superfície. - Ideia da prova: primeiro provar a identidade em um bloco retangular (paralelepípedo) usando o Teorema Fundamental do Cálculo para as integrais das faces; depois estender a prova a regiões gerais por subdivisão em muitos pequenos blocos e passar ao limite (as faces internas se cancelam).
Passo 3
Prova no caso simples: bloco retangular
.
-
Calcular o fluxo através das duas faces com normais na direção
. - Face em
: normal exterior . O elemento de área é . O fluxo por essa face é - Face em
: normal exterior é . O fluxo por essa face é - Soma das duas faces (contribuição total do componente
):
- Face em
-
Aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo em
: para cada fixo, Integrando eme e usando Fubini (ou iteração de integrais), obtemos Reescrevendo como integral tripla,onde. -
Fazemos o mesmo raciocínio para o componente
(faces em ):
as duas faces eme dão -
E para o componente
(faces em ):
as duas faces eme dão
Passo 4
Somando as contribuições das três direções para o bloco
obtemos
Portanto a igualdade é válida para qualquer paralelepípedo
onde
têm derivadas parciais contínuas.
Passo 5
Extensão para uma região geral
com fronteira lisa.
-
Subdivida
em muitos pequenos paralelepípedos (ou outro tipo de células) formando uma partição . Em cada pequeno bloco vale a identidade do Passo 4: -
Some em todos os blocos:
-
Observação crucial (cancelamento das faces internas): cada face interna pertence a exatamente dois blocos vizinhos; as normas exteriores desses dois vizinhos são opostas, logo a contribuição de fluxo através de uma face interna aparece com sinais opostos nas duas integrais de superfície e se cancela na soma. Assim, após somar sobre todos os
, permanecem apenas as contribuições das faces que compõem a fronteira externa . Portanto o lado esquerdo da soma tende para quando a malha é refinada. -
Do lado direito, a soma das integrais sobre
é uma soma de Riemann que tende para a integral tripla sobre : quando o diâmetro máximo dos blocos tende a zero, poisé contínua. -
Passando ao limite, obtemos a igualdade desejada para
: -
Condições técnicas: para justificar o passo de passar ao limite usamos que
têm derivadas parciais contínuas em uma vizinhança de e que é peça-a-peça suave; com isso a soma de Riemann converge e o cancelamento das faces internas é correto.
Passo 6
Exemplo curto para fixar a intuição (se quiser conferir na prova):
- Tome
, isto é , , . Então . Em qualquer região , Pelo teorema do divergente, isso deve ser igual ao fluxo de através de . Faz sentido: empurra para fora na direção com intensidade proporcional a , e a soma líquida disso sobre a superfície dá exatamente o volume (confira no cubo unidade para ver que funciona numericamente).
Passo 7
Resumo final e observações finais (ânimo!): o resultado que demonstramos é conhecido como Teorema do Divergente (ou Teorema de Gauss). Ele conecta uma integral de superfície (fluxo) com uma integral volumétrica (soma das fontes internas). É uma ferramenta poderosa para converter problemas de superfície em problemas de volume e vice-versa. Se você ficou meio cansado, parabéns — essa demonstração tem etapas naturais: caso simples (bloco) + particionamento + cancelamento das faces internas + limite.