Em cada um dos Problemas abaixo, encontre a solução geral do sistema de equações dado.
b) \mathbf{x}^{\prime}=\left(\begin{array}{rr}1 & 1 \\\\ 4 & -2\end{array}\right) \mathbf{x}+\binom{e^{-2 t}}{-2 e^{t}}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema não homogêneo. As informações fornecidas são:
\mathbf{x}'=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]4 & -2\end{pmatrix}\mathbf{x}+\begin{pmatrix}e^{-2t}\\[4pt]-2e^{t}\end{pmatrix}.
Ou seja:
  • a matriz do sistema é A=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]4 & -2\end{pmatrix};
  • o termo não homogêneo é \mathbf{g}(t)=\begin{pmatrix}e^{-2t}\\[4pt]-2e^{t}\end{pmatrix}.
    A pergunta é: encontre a solução geral \mathbf{x}(t) do sistema, isto é, a combinação da solução homogênea e de uma solução particular.]

Passo 2

Primeiro vamos resolver o sistema homogêneo \mathbf{x}'=A\mathbf{x}. A técnica padrão é encontrar os autovalores e autovetores de A.
O polinômio característico é
\det(A-\lambda I)=\det\begin{pmatrix}1-\lambda & 1\\[4pt]4 & -2-\lambda\end{pmatrix}.
Calculando o determinante temos
\det(A-\lambda I)=(1-\lambda)(-2-\lambda)-4=\lambda^2+\lambda-6.
As raízes desse polinômio são
\lambda^2+\lambda-6=(\lambda-2)(\lambda+3),
logo os autovalores são \lambda_1=2 e \lambda_2=-3.]

Passo 3

Agora os autovetores.
Para \lambda_1=2 resolvemos (A-2I)\mathbf{v}=0, ou seja
\begin{pmatrix}-1 & 1\\[4pt]4 & -4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_1\\[4pt]v_2\end{pmatrix}=0.
Da primeira equação -v_1+v_2=0 vem v_2=v_1. Podemos escolher v^{(1)}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Para \lambda_2=-3 resolvemos (A+3I)\mathbf{v}=0, ou seja
\begin{pmatrix}4 & 1\\[4pt]4 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_1\\[4pt]v_2\end{pmatrix}=0.
Da primeira equação 4v_1+v_2=0 vem v_2=-4v_1. Podemos escolher v^{(2)}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-4\end{pmatrix}.
Assim a solução geral do homogêneo é a combinação linear das soluções exponenciais:
\mathbf{x}_h(t)=C_1 e^{2t}\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}+C_2 e^{-3t}\begin{pmatrix}1\\[4pt]-4\end{pmatrix},
onde C_1,C_2 são constantes arbitrárias.]

Passo 4

Agora precisamos achar uma solução particular \mathbf{x}_p(t) do sistema completo. Como o termo não homogêneo é combinação de exponenciais e^{-2t} e e^{t}, usamos o método dos coeficientes a determinar: procuramos
\mathbf{x}_p(t)=\mathbf{u}\,e^{-2t}+\mathbf{v}\,e^{t},
onde \mathbf{u} e \mathbf{v} são vetores constantes (a soma separa cada frequência exponencial). Essa escolha é válida porque nem -2 nem 1 são autovalores de A (não há ressonância).
Calcule a derivada:
\mathbf{x}_p'(t) = -2\mathbf{u}\,e^{-2t} + \mathbf{v}\,e^{t}.
Substituindo em \mathbf{x}'=A\mathbf{x}+\mathbf{g} e agrupando os termos em e^{-2t} e e^{t}, obtemos dois sistemas lineares independentes:
para e^{-2t}:
-2\mathbf{u}=A\mathbf{u}+\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix},
ou seja
(-2I-A)\mathbf{u}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}.
para e^{t}:
\mathbf{v}=A\mathbf{v}+\begin{pmatrix}0\\[4pt]-2\end{pmatrix},
ou seja
(I-A)\mathbf{v}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]-2\end{pmatrix}.]

Passo 5

Resolvendo para \mathbf{u}. Calculamos a matriz -2I-A:
-2I-A=\begin{pmatrix}-2 & 0\\[4pt]0 & -2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]4 & -2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-3 & -1\\[4pt]-4 & 0\end{pmatrix}.
Então devemos resolver
\begin{pmatrix}-3 & -1\\[4pt]-4 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}u_1\\[4pt]u_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Da segunda equação -4u_1=0 segue u_1=0. Substituindo na primeira:
-u_2=1 então u_2=-1.
Portanto
\mathbf{u}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]-1\end{pmatrix}.]

Passo 6

Resolvendo para \mathbf{v}. Calculamos I-A:
I-A=\begin{pmatrix}0 & -1\\[4pt]-4 & 3\end{pmatrix}.
Deve-se resolver
\begin{pmatrix}0 & -1\\[4pt]-4 & 3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_1\\[4pt]v_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]-2\end{pmatrix}.
Da primeira equação -v_2=0 vem v_2=0.
Da segunda equação -4v_1+3v_2=-2 com v_2=0 temos -4v_1=-2 então v_1=\tfrac{1}{2}.
Portanto
\mathbf{v}=\begin{pmatrix}\tfrac{1}{2}\\[4pt]0\end{pmatrix}.]

Passo 7

Montamos a solução particular:
\mathbf{x}_p(t)=\begin{pmatrix}0\\[4pt]-1\end{pmatrix}e^{-2t}+\begin{pmatrix}\tfrac{1}{2}\\[4pt]0\end{pmatrix}e^{t} =\begin{pmatrix}\tfrac{1}{2}e^{t}\\[4pt]-e^{-2t}\end{pmatrix}.
A solução geral é soma da homogênea com a particular:
\mathbf{x}(t)=C_1 e^{2t}\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}+C_2 e^{-3t}\begin{pmatrix}1\\[4pt]-4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}\tfrac{1}{2}e^{t}\\[4pt]-e^{-2t}\end{pmatrix}.]

Resposta

\displaystyle \mathbf{x}(t)=C_1 e^{2t}\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}+C_2 e^{-3t}\begin{pmatrix}1\\[4pt]-4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}\tfrac{1}{2}e^{t}\\[4pt]-e^{-2t}\end{pmatrix}]

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