Em cada um dos Problemas abaixo, encontre a solução geral do sistema de equações dado.
b) \mathbf{x}^{\prime}=\left(\begin{array}{rr}1 & 1 \\\\ 4 & -2\end{array}\right) \mathbf{x}+\binom{e^{-2 t}}{-2 e^{t}}
Passo 1
O enunciado pede a solução geral do sistema não homogêneo. As informações fornecidas são:
a matriz do sistema é A=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]4 & -2\end{pmatrix};
o termo não homogêneo é \mathbf{g}(t)=\begin{pmatrix}e^{-2t}\\[4pt]-2e^{t}\end{pmatrix}.
A pergunta é: encontre a solução geral \mathbf{x}(t) do sistema, isto é, a combinação da solução homogênea e de uma solução particular.]
Passo 2
Primeiro vamos resolver o sistema homogêneo \mathbf{x}'=A\mathbf{x}. A técnica padrão é encontrar os autovalores e autovetores de A.
Agora precisamos achar uma solução particular \mathbf{x}_p(t) do sistema completo. Como o termo não homogêneo é combinação de exponenciais e^{-2t} e e^{t}, usamos o método dos coeficientes a determinar: procuramos
onde \mathbf{u} e \mathbf{v} são vetores constantes (a soma separa cada frequência exponencial). Essa escolha é válida porque nem -2 nem 1 são autovalores de A (não há ressonância).
Substituindo em \mathbf{x}'=A\mathbf{x}+\mathbf{g} e agrupando os termos em e^{-2t} e e^{t}, obtemos dois sistemas lineares independentes:
para e^{-2t}: