I) Enumere pares ordenados.
II) Represente por meio de flechas.
III) Faça o gráfico cartesiano das relações binárias de \mathrm{A}=\{-2,-1,0,1,2\} em B=\{-3,-2,-1,1,2,3,4\} definidas por:
a) x R y \Leftrightarrow x+y=2
b) x S y \Leftrightarrow x^{2}=y
c) x \operatorname{Ty} \Leftrightarrow|x|=|y|
d) x \vee y \Leftrightarrow x+y>2
e) x W y \Leftrightarrow(x-y)^{2}=1

Passo 1

O enunciado dá dois conjuntos \mathrm{A} = \{-2, -1, 0, 1, 2\} e \mathrm{B} = \{-3, -2, -1, 1, 2, 3, 4\}
e pede, para cada relação binária definida em \mathrm{A}\times\mathrm{B}:
  1. Listar todos os pares ordenados (x,y) que satisfazem a condição;
  2. Mostrar a representação por flechas de \mathrm{A} em \mathrm{B};
  3. Indicar o “gráfico cartesiano”, isto é, o conjunto de pontos (x,y) no plano.
A partir de agora, vamos tratar cada relação R,S,T,V,W seguindo esses três subitens.

Passo 2

a) R\colon x+y=2
  1. Para cada x\in\mathrm{A}, calculamos y=2-x e verificamos se y\in\mathrm{B}:
    -2\mapsto4,\;-1\mapsto3,\;0\mapsto2,\;1\mapsto1,\;2\mapsto0 (e 0\notin\mathrm{B}).
    Logo os pares são
\{(-2,4),\,(-1,3),\,(0,2),\,(1,1)\}.
  1. Flechas:
-2\to4,\quad -1\to3,\quad 0\to2,\quad 1\to1.
  1. Gráfico cartesiano: pontos
( -2,4),\;(-1,3),\;(0,2),\;(1,1 ).

Passo 3

b) S\colon x^{2}=y
  1. Para cada x, y=x^{2}:
    -2\mapsto4,\;-1\mapsto1,\;0\mapsto0,\;1\mapsto1,\;2\mapsto4.
    Como 0\notin\mathrm{B}, restam
\{(-2,4),\,(-1,1),\,(1,1),\,(2,4)\}.
  1. Flechas:
-2\to4,\quad -1\to1,\quad 1\to1,\quad 2\to4.
  1. Gráfico cartesiano: pontos
( -2,4),\;(-1,1),\;(1,1),\;(2,4 ).

Passo 4

c) T\colon |x| = |y|
  1. Para cada x, y=\pm x, e verificamos se está em \mathrm{B}:
    x=-2\mapsto y=-2,2;
    x=-1\mapsto y=-1,1;
    x=0\mapsto y=0 (descartado);
    x=1\mapsto y=-1,1;
    x=2\mapsto y=-2,2.
    Assim os pares são
\{(-2,-2),\,(-2,2),\,(-1,-1),\,(-1,1),\,(1,-1),\,(1,1),\,(2,-2),\,(2,2)\}.
  1. Flechas: de cada x saem duas setas (exceto 0): por exemplo
    -2\to-2,\,-2\to2;\;\dots;\;2\to-2,\,2\to2.
  2. Gráfico cartesiano: os oito pontos
(-2,-2),(-2,2),\;(-1,-1),(-1,1),\;(1,-1),(1,1),\;(2,-2),(2,2).

Passo 5

d) V\colon x+y>2
  1. Checamos, para cada x, quais y\in\mathrm{B} satisfazem y>2-x:
  • x=-2: y>4 \Rightarrow nenhum;
  • x=-1: y>3 \Rightarrow 4;
  • x=0: y>2 \Rightarrow3,4;
  • x=1: y>1 \Rightarrow2,3,4;
  • x=2: y>0 \Rightarrow1,2,3,4.
Pairs:
\{(-1,4),\,(0,3),\,(0,4),\,(1,2),\,(1,3),\,(1,4),\,(2,1),\,(2,2),\,(2,3),\,(2,4)\}.
  1. Flechas: por exemplo
    -1\to4;\;0\to3,\,0\to4;\;\dots;\;2\to1,\,2\to2,\,2\to3,\,2\to4.
  2. Gráfico cartesiano: os dez pontos acima.

Passo 6

e) W\colon (x - y)^{2} = 1
  1. Isto é |x-y|=1, ou seja y=x\pm1. Testando cada x:
    -2\mapsto -3,-1;\;-1\mapsto -2,0;\;0\mapsto -1,1;\;1\mapsto 0,2;\;2\mapsto1,3.
    Descartamos y\notin\mathrm{B} (que são 0). Ficamos com
\{(-2,-3),\,(-2,-1),\,(-1,-2),\,(0,-1),\,(0,1),\,(1,2),\,(2,1),\,(2,3)\}.
  1. Flechas: por exemplo -2\to-3,\,-2\to-1;\;-1\to-2;\;0\to-1,\,0\to1;\dots
  2. Gráfico cartesiano: os oito pontos acima.

Resposta

a) Pares R: \{(-2,4),\,(-1,3),\,(0,2),\,(1,1)\}
Flechas: -2\to4,\;-1\to3,\;0\to2,\;1\to1
Gráfico: pontos (-2,4),(-1,3),(0,2),(1,1).
b) Pares S: \{(-2,4),\,(-1,1),\,(1,1),\,(2,4)\}
Flechas: -2\to4,\;-1\to1,\;1\to1,\;2\to4
Gráfico: pontos (-2,4),(-1,1),(1,1),(2,4).
c) Pares T: \{(-2,-2),\,(-2,2),\,(-1,-1),\,(-1,1),\,(1,-1),\,(1,1),\,(2,-2),\,(2,2)\}
Flechas:
- 2\to−2,2; − 1\to−1,1; 1\to−1,1; 2\to−2,2
Gráfico: os oito pontos com coordenadas iguais em módulo.
d) Pares V: \{(-1,4),\,(0,3),\,(0,4),\,(1,2),\,(1,3),\,(1,4),\,(2,1),\,(2,2),\,(2,3),\,(2,4)\}
Flechas: conforme a lista acima
Gráfico: estes dez pontos no plano.
e) Pares W: \{(-2,-3),\,(-2,-1),\,(-1,-2),\,(0,-1),\,(0,1),\,(1,2),\,(2,1),\,(2,3)\}
Flechas: conforme a lista acima
Gráfico: estes oito pontos no plano.

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