Enunciado : Demonstrar que para todo natural
, a derivada (2n)-ésima da função
definida por
é a função definida por
.
Resposta :
Denota-se
a afirmação :
.
etapa: Verifica-se que
é verdadeira.
e
. Logo:
.
etapa : Seja k um inteiro natural. Supomos que
é verdadeira, isto é :
Vamos mostrar que essa propriedade é verdadeira ao rank
.
Então
é verdadeira.
Então
Passo 1
O enunciado pede que se mostre que, para todo natural
, a derivada de ordem
da função
dada por
é
Informações dadas:
e
é um número natural (ou seja,
).
A tarefa é provar a igualdade acima para todo .
A tarefa é provar a igualdade acima para todo
Passo 2
Vamos recordar as regras de derivação que vamos usar — vou explicar com calma.
- Regra da cadeia: se
, então . Ou seja, para derivar uma função composta, derivamos a função exterior e multiplicamos pela derivada do interior. - Derivadas fundamentais que usamos aqui:
- Constantes fatoram: se
é constante, então .
Exemplo curto e concreto: para
, aplicando a cadeia,
Isso ilustra como o fator da derivada do interior aparece.
Passo 3
Agora aplicamos essas regras a
, calculando as primeiras derivadas para reconhecer um padrão.
Primeira derivada:
ou seja,
Segunda derivada (derivando
):
Usando a regra da cadeia para
:
Portanto
Passo 4
Observação do padrão: já vimos que
e
Podemos calcular mais alguns para convencer-nos do padrão:
Isso sugere fortemente que, a cada duas derivadas, multiplicamos por
, ou seja,
. Para provar isso para todo
usamos indução matemática.
Passo 5
Explicando a estratégia: vamos provar a afirmação por indução em
.
Definimos a propriedade
O princípio da indução diz: se mostramos
(base) e que
(passo indutivo) para todo
, então
vale para todo
.
Passo 6
Base da indução (
): já verificamos que
logo
é verdadeira.
Passo 7
Passo indutivo: suponha que
seja verdadeira para um
qualquer, isto é, suponha que
Queremos provar
, ou seja que
Começamos observando que derivar duas vezes mais a função de ordem
dá a ordem
:
Usando a hipótese indutiva:
Como
é uma constante (dependente de
, mas não de
), podemos fatorá-la para fora da derivada:
Mas já calculámos em detalhe que
Substituindo,
Portanto
é verdadeira.
Passo 8
Conclusão por indução: como
é verdadeira e
para todo
, pelo princípio da indução matemática a propriedade
vale para todo
. Assim mostramos que, para todo natural
,