Enunciado : Demonstrar que para todo natural n, a derivada (2n)-ésima da função f definida por f(x)=\operatorname{sen}(2 x) é a função definida por f^{(2 n)}(x)=(-4)^{n} \operatorname{sen}(2 x).

Resposta :

Denota-se P(n) a afirmação : f^{(2 n)}(x)=(-4)^{n} \operatorname{sen}(2 x).
1^{\text {a }} etapa: Verifica-se que P(0) é verdadeira. f^{(0)}(x)=\operatorname{sen}(2 x) e (-4)^{0} \operatorname{sen}(2 x)=\operatorname{sen}(2 x). Logo: f^{(0)}(x)=(-4)^{0} \operatorname{sen}(2 x).
2^{\text {a }} etapa : Seja k um inteiro natural. Supomos que \mathrm{P}(\mathrm{k}) é verdadeira, isto é :
f^{(2 k)}(x)=(-4)^{k} \operatorname{sen}(2 x) \text { (hipótese de recorrência) }óê
Vamos mostrar que essa propriedade é verdadeira ao rank (\mathrm{k}+1).
(f)^{(2(k+1))}(x)=\left((f)^{(2 k)}\right) "(x)=\left((-4)^{k} \operatorname{sen}(2 x)\right) "=(-4)^{k} 2(\cos (2 x))^{\prime}=(-4)^{k+1} \operatorname{sen}(2 x)
Então \mathrm{P}(\mathrm{k}+1) é verdadeira.

Passo 1

O enunciado pede que se mostre que, para todo natural n, a derivada de ordem 2n da função f dada por f(x)=\operatorname{sen}(2 x) é
f^{(2n)}(x)=(-4)^{n}\operatorname{sen}(2 x).
Informações dadas:
f(x)=\operatorname{sen}(2 x)
e n é um número natural (ou seja, n\in\mathbb{N}).
A tarefa é provar a igualdade acima para todo n.

Passo 2

Vamos recordar as regras de derivação que vamos usar — vou explicar com calma.
  • Regra da cadeia: se g(x)=h(u(x)), então g'(x)=h'(u(x))\cdot u'(x). Ou seja, para derivar uma função composta, derivamos a função exterior e multiplicamos pela derivada do interior.
  • Derivadas fundamentais que usamos aqui: \frac{d}{dx}\big(\operatorname{sen}(u)\big)=\cos(u)\cdot u',
\frac{d}{dx}\big(\cos(u)\big)=-\operatorname{sen}(u)\cdot u'.
  • Constantes fatoram: se C é constante, então \frac{d}{dx}\big(C\cdot g(x)\big)=C\cdot g'(x).
Exemplo curto e concreto: para g(x)=\operatorname{sen}(3x), aplicando a cadeia,
g'(x)=\cos(3x)\cdot 3 = 3\cos(3x).
Isso ilustra como o fator da derivada do interior aparece.

Passo 3

Agora aplicamos essas regras a f(x)=\operatorname{sen}(2x), calculando as primeiras derivadas para reconhecer um padrão.
Primeira derivada:
f'(x)=\frac{d}{dx}\big(\operatorname{sen}(2x)\big)=\cos(2x)\cdot\frac{d}{dx}(2x)=\cos(2x)\cdot 2,
ou seja,
f'(x)=2\cos(2x).
Segunda derivada (derivando f'(x)):
f''(x)=\frac{d}{dx}\big(2\cos(2x)\big)=2\cdot\frac{d}{dx}\big(\cos(2x)\big).
Usando a regra da cadeia para \cos(2x):
\frac{d}{dx}\big(\cos(2x)\big)=-\operatorname{sen}(2x)\cdot\frac{d}{dx}(2x)=-\operatorname{sen}(2x)\cdot 2.
Portanto
f''(x)=2\cdot\big(-2\operatorname{sen}(2x)\big)=-4\operatorname{sen}(2x).

Passo 4

Observação do padrão: já vimos que
f^{(0)}(x)=\operatorname{sen}(2x)=(-4)^{0}\operatorname{sen}(2x)
e
f^{(2)}(x)=-4\operatorname{sen}(2x)=(-4)^{1}\operatorname{sen}(2x).
Podemos calcular mais alguns para convencer-nos do padrão:
f^{(3)}(x)=\frac{d}{dx}\big(f''(x)\big)=\frac{d}{dx}\big(-4\operatorname{sen}(2x)\big)=-4\cdot 2\cos(2x)=-8\cos(2x),
f^{(4)}(x)=\frac{d}{dx}\big(f^{(3)}(x)\big)=-8\cdot\frac{d}{dx}\big(\cos(2x)\big)=-8\cdot(-2\operatorname{sen}(2x))=16\operatorname{sen}(2x)=(-4)^{2}\operatorname{sen}(2x).
Isso sugere fortemente que, a cada duas derivadas, multiplicamos por -4, ou seja, f^{(2n)}(x)=(-4)^n\operatorname{sen}(2x). Para provar isso para todo n usamos indução matemática.

Passo 5

Explicando a estratégia: vamos provar a afirmação por indução em n.
Definimos a propriedade
P(n):\quad f^{(2n)}(x)=(-4)^{n}\operatorname{sen}(2x).
O princípio da indução diz: se mostramos P(0) (base) e que P(k)\Rightarrow P(k+1) (passo indutivo) para todo k, então P(n) vale para todo n\in\mathbb{N}.

Passo 6

Base da indução ( n=0): já verificamos que
f^{(0)}(x)=\operatorname{sen}(2x)=(-4)^{0}\operatorname{sen}(2x),
logo P(0) é verdadeira.

Passo 7

Passo indutivo: suponha que P(k) seja verdadeira para um k qualquer, isto é, suponha que
f^{(2k)}(x)=(-4)^{k}\operatorname{sen}(2x).
Queremos provar P(k+1), ou seja que
f^{(2(k+1))}(x)=f^{(2k+2)}(x)=(-4)^{k+1}\operatorname{sen}(2x).
Começamos observando que derivar duas vezes mais a função de ordem 2k dá a ordem 2k+2:
f^{(2k+2)}(x)=\big(f^{(2k)}(x)\big)''.
Usando a hipótese indutiva:
f^{(2k+2)}(x)=\big((-4)^{k}\operatorname{sen}(2x)\big)''.
Como (-4)^{k} é uma constante (dependente de k, mas não de x), podemos fatorá-la para fora da derivada:
f^{(2k+2)}(x)=(-4)^{k}\cdot\big(\operatorname{sen}(2x)\big)''.
Mas já calculámos em detalhe que
\big(\operatorname{sen}(2x)\big)''=-4\operatorname{sen}(2x).
Substituindo,
f^{(2k+2)}(x)=(-4)^{k}\cdot\big(-4\operatorname{sen}(2x)\big)=(-4)^{k+1}\operatorname{sen}(2x).
Portanto P(k+1) é verdadeira.

Passo 8

Conclusão por indução: como P(0) é verdadeira e P(k)\Rightarrow P(k+1) para todo k, pelo princípio da indução matemática a propriedade P(n) vale para todo n\in\mathbb{N}. Assim mostramos que, para todo natural n,
f^{(2n)}(x)=(-4)^{n}\operatorname{sen}(2x).

Resposta

f^{(2n)}(x)=(-4)^{n}\operatorname{sen}(2x)

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