Demonstrar que para todo natural n :
Resposta :
Denota-se
a afirmação :
.
etapa: Verifica-se que
é verdadeira. Aqui,
e
. Temos:
.
etapa : Seja k um inteiro natural. Supomos que
é verdadeira, isto é :
Vamos mostrar que essa propriedade é verdadeira ao rank (
).
Então
é verdadeira.
Conclusão :
é portanto verdadeira para todo inteiro natural, isto é :
Então
Conclusão :
Passo 1
O que o enunciado pede: provar que, para todo natural
,
Informações dadas e observações imediatas:
Passo 2
Escolha do método: vamos usar o princípio da indução matemática (muito usado para provar afirmações que dizem “para todo }n)”). A ideia da indução tem duas etapas principais:
Se essas duas etapas funcionarem, a propriedade vale para todo natural
.
Passo 3
Caso base (
). Calcule a soma e o lado direito:
Logo a igualdade vale para
. (Opcionalmente, veja também
:
e
.)
Passo 4
Hipótese de indução. Seja
um natural arbitrário e suponha que a propriedade seja verdadeira para
, ou seja:
Vamos provar que a propriedade vale para
.
Passo 5
Escrevemos a soma até
em função da soma até
:
Agora substituímos a hipótese de indução para
:
Passo 6
Fazer a simplificação algébrica passo a passo. Começamos por fatorar
no lado direito:
Agora colocamos tudo sobre o mesmo denominador
:
Repare que
. Então
Substituindo de volta:
Passo 7
Concluímos o passo indutivo: a partir da hipótese para
mostramos que a fórmula vale para
. Juntando com o caso base (
), pelo princípio da indução, a igualdade vale para todo
.