Demonstrar que para todo natural n :
\sum_{\mathrm{i}=0}^{\mathrm{n}} \mathrm{i}^{3}=\frac{\mathrm{n}^{2}(\mathrm{n}+1)^{2}}{4}

Resposta :

Denota-se \mathrm{P}(\mathrm{n}) a afirmação : \sum_{\mathrm{i}=0}^{\mathrm{n}} \mathrm{i}^{3}=\frac{\mathrm{n}^{2}(\mathrm{n}+1)^{2}}{4}.
\mathbf{1}^{\text {a }} etapa: Verifica-se que \mathrm{P}(0) é verdadeira. Aqui, \sum_{\mathrm{i}=0}^{0} \mathrm{i}^{3}=0 e \frac{0^{2}(0+1)^{2}}{4}=0. Temos: \sum_{\mathrm{i}=0}^{0} \mathrm{i}^{3}=\frac{0^{2}(0+1)^{2}}{4}.
2^{\text {a }} etapa : Seja k um inteiro natural. Supomos que \mathrm{P}(\mathrm{k}) é verdadeira, isto é :
\sum_{\mathrm{i}=0}^{\mathrm{k}} \mathrm{i}^{3}=\frac{\mathrm{k}^{2}(\mathrm{k}+1)^{2}}{4} \text { (hipótese de recorrência) }óê
Vamos mostrar que essa propriedade é verdadeira ao rank ( k+1 ).
\sum_{\mathrm{i}=0}^{\mathrm{k}+1} \mathrm{i}^{3}=\sum_{\mathrm{i}=0}^{\mathrm{k}} \mathrm{i}^{3}+\mathrm{k}^{3}=\frac{\mathrm{k}^{2}(\mathrm{k}+1)^{2}}{4}+\mathrm{k}^{3}=\frac{(\mathrm{k}+1)^{2}(\mathrm{k}+2)^{2}}{4}
Então \mathrm{P}(\mathrm{k}+1) é verdadeira.
Conclusão : \mathrm{P}(\mathrm{n}) é portanto verdadeira para todo inteiro natural, isto é :

Passo 1

O que o enunciado pede: provar que, para todo natural n,
\sum_{i=0}^{n} i^{3}=\frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}.
Informações dadas e observações imediatas:
\text{(i)}\quad\text{A soma começa em }i=0\text{. Note que }0^{3}=0\text{, então a soma é a mesma que de }i=1\text{ até }n.çãéé
\text{(ii)}\quad\text{Queremos uma igualdade que vale para todo }n\in\mathbb{N}.

Passo 2

Escolha do método: vamos usar o princípio da indução matemática (muito usado para provar afirmações que dizem “para todo }n)”). A ideia da indução tem duas etapas principais:
\text{(1) Caso base: verificar que a afirmação vale para um }n\text{ inicial (aqui }n=0\text{).}çã
\text{(2) Passo indutivo: supor que vale para }n=k\text{ (hipótese de indução) e então provar que vale para }n=k+1\text{.}óçãã
Se essas duas etapas funcionarem, a propriedade vale para todo natural n.

Passo 3

Caso base ( n=0). Calcule a soma e o lado direito:
\sum_{i=0}^{0} i^{3}=0^{3}=0.
\frac{0^{2}(0+1)^{2}}{4}=\frac{0\cdot 1^{2}}{4}=0.
Logo a igualdade vale para n=0. (Opcionalmente, veja também n=1: \sum_{i=0}^{1}i^{3}=0+1=1 e \frac{1^{2}\cdot2^{2}}{4}=1.)

Passo 4

Hipótese de indução. Seja k um natural arbitrário e suponha que a propriedade seja verdadeira para n=k, ou seja:
\sum_{i=0}^{k} i^{3}=\frac{k^{2}(k+1)^{2}}{4}.
Vamos provar que a propriedade vale para n=k+1.

Passo 5

Escrevemos a soma até k+1 em função da soma até k:
\sum_{i=0}^{k+1} i^{3}=\sum_{i=0}^{k} i^{3}+(k+1)^{3}.
Agora substituímos a hipótese de indução para \sum_{i=0}^{k} i^{3}:
\sum_{i=0}^{k+1} i^{3}=\frac{k^{2}(k+1)^{2}}{4}+(k+1)^{3}.

Passo 6

Fazer a simplificação algébrica passo a passo. Começamos por fatorar (k+1)^{2} no lado direito:
\frac{k^{2}(k+1)^{2}}{4}+(k+1)^{3}=(k+1)^{2}\left(\frac{k^{2}}{4}+(k+1)\right).
Agora colocamos tudo sobre o mesmo denominador 4:
\frac{k^{2}}{4}+(k+1)=\frac{k^{2}}{4}+\frac{4(k+1)}{4}=\frac{k^{2}+4k+4}{4}.
Repare que k^{2}+4k+4=(k+2)^{2}. Então
\frac{k^{2}+4k+4}{4}=\frac{(k+2)^{2}}{4}.
Substituindo de volta:
\sum_{i=0}^{k+1} i^{3}=(k+1)^{2}\cdot\frac{(k+2)^{2}}{4}=\frac{(k+1)^{2}(k+2)^{2}}{4}.

Passo 7

Concluímos o passo indutivo: a partir da hipótese para k mostramos que a fórmula vale para k+1. Juntando com o caso base ( n=0), pelo princípio da indução, a igualdade vale para todo n\in\mathbb{N}.

Resposta

\sum_{i=0}^{n} i^{3}=\frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}

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