Enunciado: Demonstrar que para todo natural \mathrm{n}: \mathrm{n}^{2}+\mathrm{n}+2 é um número par.

Resposta :

Denota-se \mathrm{P}(\mathrm{n}) a afirmação : \mathrm{n}^{2}+\mathrm{n}+2 é um número par, isto é:
\exists \mathrm{i} \in \mathbb{N}, \mathrm{n}^{2}+\mathrm{n}+2=2 \mathrm{i}
1^{\mathrm{a}} etapa : Verifica-se que \mathrm{P}(0) é verdadeira : 0^{2}+0+2=2 \times 1.
2^{\text {a }} etapa : Seja k um inteiro natural. Supomos que \mathrm{P}(\mathrm{k}) é verdadeira, isto é :
\exists \mathrm{i} \in \mathbb{N}, \mathrm{k}^{2}+\mathrm{k}+2=2 \mathrm{i} \text { (hipótese de recorrência) }óê
Vamos mostrar que essa propriedade é verdadeira ao rank (k+1).
(\mathrm{k}+1)^{2}+(\mathrm{k}+1)+2=\mathrm{k}^{2}+2 \mathrm{k}+1+\mathrm{k}+1+2=\left(\mathrm{k}^{2}+\mathrm{k}+2\right)+2 \mathrm{k}+2=2 \mathrm{i}+2(\mathrm{k}+1)=2(\mathrm{i}+\mathrm{k}+1)
Então \mathrm{P}(\mathrm{k}+1) é verdadeira.
Conclusão : \mathrm{P}(\mathrm{n}) é portanto verdadeira para todo inteiro natural, isto é :
Para todo inteiro natural, \mathrm{n}^{2}+\mathrm{n}+2 é um número par.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo natural n, o número n^{2}+n+2 é par.
Informações dadas (resumo):
\;\; - A variável n varia em \mathbb{N} (números naturais).
\;\; - Queremos provar que, para todo n\in\mathbb{N}, a expressão n^{2}+n+2 é um número par (ou seja, é múltiplo de 2).
Não vou resolver aqui; só identifiquei o que se pede e os dados.

Passo 2

O que significa “ser par”? Vou explicar bem direitinho: um inteiro m é par se existe um inteiro t tal que
m = 2t.
Aqui podemos exigir t\in\mathbb{Z} ou t\in\mathbb{N} conforme prefiramos, desde que seja inteiro. Então, para provar que n^{2}+n+2 é par basta escrever
n^{2}+n+2 = 2\cdot (\text{algum inteiro}).
Esse será nosso objetivo ao longo da prova.

Passo 3

Vou provar a afirmação usando indução matemática — método padrão para propriedades que valem para todos os naturais. Explico o esquema (de forma simples): mostrar que
P(n) :\quad n^{2}+n+2 \text{ é par}é
vale para todo n\in\mathbb{N} requer dois passos:
\;\; (i) base da indução: provar P(0) (ou P(1), dependendo);
\;\; (ii) passo indutivo: assumir P(k) verdadeira para um k arbitrário e deduzir P(k+1).
Se esses dois passos funcionarem, concluímos que P(n) é verdadeira para todo n.

Passo 4

Base da indução ( n=0). Calculamos:
0^{2}+0+2 = 2.
E 2 = 2\cdot 1, ou seja, é da forma 2\cdot(\text{inteiro}). Logo P(0) é verdadeira.

Passo 5

Hipótese de indução. Seja k\in\mathbb{N} arbitrário e suponha que P(k) é verdadeira, isto é, suponha que exista um inteiro i tal que
k^{2}+k+2 = 2i.
Essa é a hipótese que vamos usar para provar P(k+1).

Passo 6

Provar P(k+1). Começamos calculando a expressão para k+1 e fazemos álgebra passo a passo:
(k+1)^{2}+(k+1)+2 = k^{2}+2k+1 + k+1 + 2.
Agora juntamos termos semelhantes:
k^{2}+2k+1 + k+1 + 2 = \bigl(k^{2}+k+2\bigr) + 2k + 2.
Pelo que assumimos na hipótese de indução, k^{2}+k+2 = 2i. Substituindo:
\bigl(k^{2}+k+2\bigr) + 2k + 2 = 2i + 2k + 2.
Agora fatoramos 2:
2i + 2k + 2 = 2\bigl(i + k + 1\bigr).
Portanto
(k+1)^{2}+(k+1)+2 = 2\bigl(i + k + 1\bigr),
ou seja, é duas vezes um número inteiro. Isso mostra que P(k+1) é verdadeira.

Passo 7

Fechamento do passo indutivo: note que i+k+1 é um inteiro (soma de inteiros), então a fatoração acima realmente coloca (k+1)^{2}+(k+1)+2 na forma 2\cdot(\text{inteiro}). Assim, a hipótese de indução levou à conclusão desejada, provando o passo indutivo.

Passo 8

Conclusão por indução: como P(0) é verdadeira e P(k)\Rightarrow P(k+1) foi provado, por princípio da indução matemática segue que P(n) é verdadeira para todo n\in\mathbb{N}. Ou seja, para todo natural n a expressão n^{2}+n+2 é par.

Passo 9

Comentário extra (útil na prova): há uma demonstração ainda mais curta e direta, sem indução, que vale guardar para a prova. Observe que
n^{2}+n+2 = n(n+1) + 2.
Entre dois números consecutivos n e n+1, um deles é par, logo o produto n(n+1) é par (produto com um fator par é par). Como 2 também é par, a soma de dois pares é par. Portanto n(n+1)+2 é par, concluindo a prova diretamente. Essa observação é uma forma rápida de justificar a paridade na prova de prova.

Resposta

Para todo inteiro natural, n^{2}+n+2 é par.

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