Enunciado: Demonstrar que para todo natural
é um número par.
Resposta :
Denota-se
a afirmação :
é um número par, isto é:
etapa : Verifica-se que
é verdadeira :
.
etapa : Seja k um inteiro natural. Supomos que
é verdadeira, isto é :
Vamos mostrar que essa propriedade é verdadeira ao rank
.
Então
é verdadeira.
Conclusão :
é portanto verdadeira para todo inteiro natural, isto é :
Para todo inteiro natural,
é um número par.
Conclusão :
Para todo inteiro natural,
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para todo natural
, o número
é par.
Informações dadas (resumo):
- A variável
varia em
(números naturais).
- Queremos provar que, para todo
, a expressão
é um número par (ou seja, é múltiplo de
).
Não vou resolver aqui; só identifiquei o que se pede e os dados.
Informações dadas (resumo):
Não vou resolver aqui; só identifiquei o que se pede e os dados.
Passo 2
O que significa “ser par”? Vou explicar bem direitinho: um inteiro
é par se existe um inteiro
tal que
Aqui podemos exigir
ou
conforme prefiramos, desde que seja inteiro. Então, para provar que
é par basta escrever
Esse será nosso objetivo ao longo da prova.
Passo 3
Vou provar a afirmação usando indução matemática — método padrão para propriedades que valem para todos os naturais. Explico o esquema (de forma simples): mostrar que
vale para todo
requer dois passos:
(i) base da indução: provar
(ou
, dependendo);
(ii) passo indutivo: assumir
verdadeira para um
arbitrário e deduzir
.
Se esses dois passos funcionarem, concluímos que é verdadeira para todo
.
Se esses dois passos funcionarem, concluímos que
Passo 4
Base da indução (
). Calculamos:
E
, ou seja, é da forma
. Logo
é verdadeira.
Passo 5
Hipótese de indução. Seja
arbitrário e suponha que
é verdadeira, isto é, suponha que exista um inteiro
tal que
Essa é a hipótese que vamos usar para provar
.
Passo 6
Provar
. Começamos calculando a expressão para
e fazemos álgebra passo a passo:
Agora juntamos termos semelhantes:
Pelo que assumimos na hipótese de indução,
. Substituindo:
Agora fatoramos
:
Portanto
ou seja, é duas vezes um número inteiro. Isso mostra que
é verdadeira.
Passo 7
Fechamento do passo indutivo: note que
é um inteiro (soma de inteiros), então a fatoração acima realmente coloca
na forma
. Assim, a hipótese de indução levou à conclusão desejada, provando o passo indutivo.
Passo 8
Conclusão por indução: como
é verdadeira e
foi provado, por princípio da indução matemática segue que
é verdadeira para todo
. Ou seja, para todo natural
a expressão
é par.
Passo 9
Comentário extra (útil na prova): há uma demonstração ainda mais curta e direta, sem indução, que vale guardar para a prova. Observe que
Entre dois números consecutivos
e
, um deles é par, logo o produto
é par (produto com um fator par é par). Como
também é par, a soma de dois pares é par. Portanto
é par, concluindo a prova diretamente. Essa observação é uma forma rápida de justificar a paridade na prova de prova.
Resposta
Para todo inteiro natural,
é par.