- Prove que um pentágono convexo possui três diagonais que podem formar um triângulo.
Passo 1
Vamos chamar o pentágono convexo de
, com os vértices listados em sentido horário. Os cinco diagonais são
O que queremos mostrar é que há três dessas diagonais cujos trechos se “fecham” em torno de uma região triangular interior ao pentágono.
Passo 2
Observe que
são todas diagonais (cada uma “pula” exatamente um vértice):
-
liga a , -
liga a , -
liga a .
Passo 3
Note que em um polígono convexo duas diagonais intersectam-se interiormente se, e só se, seus extremos aparecem de forma intercalada na volta ao redor do polígono.
- Os extremos de
são e . - Os de
são e .
Em torno dea ordem é
Tomando a volta circular, vemos que entre
e
entra o ponto
, de um lado, e entre
e
entra o ponto
, do outro. Logo esses dois segmentos são intercalados e, por convexidade, eles se cruzam em um ponto interior ao pentágono. Denotemos esse ponto de interseção por
:
Passo 4
Agora formamos a região triangular cujos vértices são
e cujos lados são:
- O trecho de
que vai de até . - O segmento
. - O trecho de
que vai de até .
Como cada um desses três lados pertence a uma das diagonais
,
,
, concluímos que essas três diagonais fecham uma região triangular no interior do pentágono.
Resposta
As diagonais
,
e
formam, entre si, uma “pequena” região triangular interior ao pentágono convexo
. Portanto, já existe um triângulo cujos lados são trechos de três diagonais do pentágono.