1. Prove que um pentágono convexo possui três diagonais que podem formar um triângulo.

Passo 1

Vamos chamar o pentágono convexo de ABCDE, com os vértices listados em sentido horário. Os cinco diagonais são
AC,\;BD,\;CE,\;DA,\;EB.
O que queremos mostrar é que há três dessas diagonais cujos trechos se “fecham” em torno de uma região triangular interior ao pentágono.

Passo 2

Observe que
AC,\;CE,\;EB
são todas diagonais (cada uma “pula” exatamente um vértice):
  • AC liga A a C,
  • CE liga C a E,
  • EB liga E a B.

Passo 3

Note que em um polígono convexo duas diagonais intersectam-se interiormente se, e só se, seus extremos aparecem de forma intercalada na volta ao redor do polígono.
  1. Os extremos de AC são A e C.
  2. Os de EB são E e B.
    Em torno de ABCDEA a ordem é
A,\;B,\;C,\;D,\;E,\;A.
Tomando a volta circular, vemos que entre A e C entra o ponto B, de um lado, e entre E e B entra o ponto A, do outro. Logo esses dois segmentos são intercalados e, por convexidade, eles se cruzam em um ponto interior ao pentágono. Denotemos esse ponto de interseção por P:
P \;=\; AC\;\cap\;EB,\quad P\text{ está dentro de }ABCDE.á

Passo 4

Agora formamos a região triangular cujos vértices são
C,\quad E,\quad P
e cujos lados são:
  • O trecho de AC que vai de P até C.
  • O segmento CE.
  • O trecho de EB que vai de E até P.
Como cada um desses três lados pertence a uma das diagonais AC, CE, EB, concluímos que essas três diagonais fecham uma região triangular no interior do pentágono.

Resposta

As diagonais AC, CE e EB formam, entre si, uma “pequena” região triangular interior ao pentágono convexo ABCDE. Portanto, já existe um triângulo cujos lados são trechos de três diagonais do pentágono.

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