Enunciado das questões 6-7: Uma corda de comprimento muito grande situa-se ao longo do eixo x, sendo que seu ponto médio encontra-se em x=0 m. Um pulso de onda se propaga nesta corda tal que, em unidades do SI, e para t<0 s, o pulso é descrito por
u(x, t)=0,005 e^-(5 x+15 t)^2
Obs: lembre-se que não há nada de anormal em tempo negativo, apenas significa um tempo anterior ao que você determinou como sendo t=0 s. Exemplo: se você escolhe t=0 s ao meio-dia, então 11:59:00 significa t=-60 s.
(10 pontos) Suponha que, muito antes do pulso se aproximar da origem, a corda tenha sido cortada em x=0 m. Essas duas novas extremidades agora satisfazem a condição de extremidade solta. Após a reflexão na origem, qual deve ser o formato do pulso no respectivo pedaço de corda?

Passo 1

Beleza, aqui vai o resumo da parada: a questão fala de uma corda infinita ao longo do eixo x, com um pulso que, para t<0, é dado por
.
A corda foi cortada em x=0 bem antes do pulso chegar, e as duas pontas ficaram “soltas” (extremidade livre). O que pedem é: depois que o pulso bate em x=0, qual é o formato do pulso refletido no pedaço de corda (x>0)?
Conteúdo: ondas unidimensionais e reflexão em extremidade livre. Vamos precisar saber identificar direção e velocidade da onda, e aplicar a condição de extremidade livre (o declive em x=0 deve ser zero).

Passo 2

Primeiro, entenda a onda incidente. A expressão
ui(x,t)=0,005,e^-(5x+15t)^2
é da forma . Quando o argumento é , a onda se move para a esquerda com velocidade . Aqui temos , então o pulso anda para a esquerda a 3 m/s (ou seja, ele vem do lado positivo de x e vai pra x=0).

Passo 3

Em extremidade livre a condição é “slope zero” em x=0:
partial urm totalpartial x|x=0=0
Isso significa que a soma da derivada da onda incidente e da refletida anula em x=0. Supondo a refletida na forma
ur(x,t)=g(5x-15t),
a gente impõe
partialxui(0,t)+partialxur(0,t)=0
Como 5,f'(15t)+5,g'(-15t)=0forall t e g(y)=f(-y) , em x=0 vira
g(5x-15t)=0,005,e^-(,-(5x-15t),)^2 =0,005,e^-(5x-15t)^2
Para isso ocorrer, escolhe-se
Como , então

Resposta

A forma do pulso refletido (para x>0 e t>0) é
boxedur(x,t)=0,005,e^-(5x-15t)^2

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