Enunciado das questões 6-7: Uma corda de comprimento muito grande situa-se ao longo do eixo , sendo que seu ponto médio encontra-se em . Um pulso de onda se propaga nesta corda tal que, em unidades do SI, e para , o pulso é descrito por
Obs: lembre-se que não há nada de anormal em tempo negativo, apenas significa um tempo anterior ao que você determinou como sendo . Exemplo: se você escolhe ao meio-dia, então 11:59:00 significa .
(10 pontos) Suponha que, muito antes do pulso se aproximar da origem, a corda tenha sido cortada em . Essas duas novas extremidades agora satisfazem a condição de extremidade solta. Após a reflexão na origem, qual deve ser o formato do pulso no respectivo pedaço de corda?
Passo 1
Beleza, aqui vai o resumo da parada: a questão fala de uma corda infinita ao longo do eixo x, com um pulso que, para t<0, é dado por .
A corda foi cortada em x=0 bem antes do pulso chegar, e as duas pontas ficaram “soltas” (extremidade livre). O que pedem é: depois que o pulso bate em x=0, qual é o formato do pulso refletido no pedaço de corda (x>0)?
Conteúdo: ondas unidimensionais e reflexão em extremidade livre. Vamos precisar saber identificar direção e velocidade da onda, e aplicar a condição de extremidade livre (o declive em x=0 deve ser zero).
Passo 2
Primeiro, entenda a onda incidente. A expressão
é da forma . Quando o argumento é , a onda se move para a esquerda com velocidade . Aqui temos , então o pulso anda para a esquerda a 3 m/s (ou seja, ele vem do lado positivo de x e vai pra x=0).
Passo 3
Em extremidade livre a condição é “slope zero” em x=0:
Isso significa que a soma da derivada da onda incidente e da refletida anula em x=0. Supondo a refletida na forma
ur(x,t)=g(5x-15t),
a gente impõe
partialxui(0,t)+partialxur(0,t)=0
Como 5,f'(15t)+5,g'(-15t)=0forall t e g(y)=f(-y) , em x=0 vira