Um resistor de
e um capacitor de
são ligados em série com uma fonte ideal de força eletromotriz
volts. Depois de transcorrido
, determine (a) a taxa de aumento da carga do capacitor, (b) a taxa de armazenamento de energia no capacitor, © a taxa de dissipação de energia no capacitor e (d) a taxa de fornecimento de energia pela fonte.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que o enunciado fala.
Temos um circuito série RC com:
Temos um circuito série RC com:
- R = 4,00 MΩ
- C = 4,00 μF
- Fonte ideal ε = 6,00 V
Após t = 1,50 s queremos:
(a) dQ/dt (taxa de aumento da carga no capacitor)
(b) taxa de armazenamento de energia no capacitor
© taxa de dissipação de energia no resistor
(d) taxa de fornecimento de energia pela fonte
O conteúdo é a carga e corrente num circuito RC em carga, além de cálculo de potências (energia por unidade de tempo). Para resolver, vamos precisar:
- a expressão da corrente i(t) num RC em carga:
i(t) = (ε/R) e^(−t/RC) - a tensão no capacitor v_C(t) = ε [1 − e^(−t/RC)]
- relações de potência:
P_C = v_C · i, P_R = i² R, P_fonte = ε · i
Passo 2
(a) taxa de aumento da carga no capacitor → dQ/dt = i(t)
Num circuito RC em carga:
Num circuito RC em carga:
Calculemos os valores:
τ = R·C = (4,00×10^6 Ω)·(4,00×10^−6 F) = 16,0 s
t/τ = 1,50/16,0 ≃ 0,09375
e^(−t/τ) = e^(−0,09375) ≃ 0,9105
Logo
$$i(1{,}50) = \frac{6{,}00}{4{,}00×10^6},·0,9105
=1,3658×10^{-6},A
\approx1,37,μA.$$
Passo 3
(b) taxa de armazenamento de energia no capacitor → P_C = v_C·i
Tensão no capacitor em t:
Tensão no capacitor em t:
$$v_C(t)=ε\bigl[1−e^{-t/(RC)}\bigr]
=6,00\bigl[1−0,9105\bigr]=6,00·0,0895=0,537 V.
P_C = v_C·i =0,537,V·1,3658×10^{-6},A
=7,33×10^{-7},W.$$
Passo 4
© taxa de dissipação de energia no resistor → P_R = i²·R
$$P_R=(1,3658×10{-6})2·4,00×10^6
=7,47×10^{-6},W.$$
Passo 5
(d) taxa de fornecimento de energia pela fonte → P_fonte = ε·i
$$P_{\rm fonte}=6,00,V·1,3658×10^{-6},A
=8,19×10^{-6},W.$$
Resposta
(a) dQ/dt = 1,37 μA
(b) P_C = 7,33×10^−7 W
© P_R = 7,47×10^−6 W
(d) P_fonte = 8,19×10^−6 W
(b) P_C = 7,33×10^−7 W
© P_R = 7,47×10^−6 W
(d) P_fonte = 8,19×10^−6 W