Enunciado: Um raio de corrente 78 kA atinge a água. Um nadador está a 35,0 \mathrm{~m} do ponto de impacto; a água tem resistividade 30 \Omega \cdot \mathrm{~m}. A largura efetiva do corpo na direção radial é 0,70 \mathrm{~m} e a resistência corporal nessa direção é 4,00 \mathrm{k} \Omega. Admitindo espalhamento hemisférico da corrente, determine a corrente que atravessa o corpo do nadador.
Passo 1
O que o problema pede: determinar a corrente que atravessa o corpo do nadador quando um raio de corrente atinge a água e a corrente se espalha hemisfericamente.
Dados fornecidos (já convertidos para unidades SI quando necessário):
Corrente total lançada no ponto de impacto: I_{\text{total}} = 78{,}0\\ \text{kA} = 78{,}0\times10^{3}\\ \mathrm{A}.
Distância radial do nadador ao ponto de impacto: r = 35{,}0\\ \mathrm{m}.
Resistividade da água: \rho = 30\\ \Omega\cdot\mathrm{m}.
Largura efetiva do corpo na direção radial: w = 0{,}70\\ \mathrm{m}.
Resistência interna do corpo nessa direção: R_{\text{corpo}} = 4{,}00\\ \text{k}\Omega = 4{,}00\times10^{3}\\ \Omega.
Observação do enunciado: assumir espalhamento hemisférico da corrente (isto é, a corrente se distribui sobre a superfície de uma hemisfera de raio r).
Passo 2
Modelo físico e conceitos básicos (explicação didática):
Quando a corrente I_{\text{total}} sai do ponto de impacto e se espalha de maneira aproximadamente hemisférica, ela atravessa a superfície de uma hemisfera de raio r. A área dessa superfície é
A_{\text{hemi}} = 2\pi r^{2}.
Densidade de corrente superficial (na direção radial) é a corrente por unidade de área. Se a corrente se distribui uniformemente sobre a hemisfera,
A relação entre densidade de corrente j, campo elétrico E e condutividade \sigma é j=\sigma E. A condutividade é o inverso da resistividade: \sigma = 1/\rho.
Para condução radial em 3D, a corrente total também satisfaz I_{\text{total}} = \sigma A_{\text{hemi}} \,(-\,dV/dr), o que leva à expressão do gradiente de potencial radial:
Isto significa que a taxa de variação do potencial com a distância (a “inclinação” do potencial) é proporcional a I_{\text{total}}\rho e decai como 1/r^{2}.
Passo 3
Estimativa da diferença de potencial ao longo da largura do corpo e relação com a corrente no corpo:
A diferença de potencial entre dois pontos separados radialmente por uma pequena largura w (por exemplo, entre a frente e as costas do nadador, medidos na direção radial) pode ser aproximada por
\Delta V \approx \left|\frac{dV}{dr}\right| w = \frac{I_{\text{total}}\rho}{2\pi r^{2}}\,w.
Explicando: usamos a aproximação de primeira ordem \Delta V \approx |dV/dr|\cdot w válida quando w\ll r (a variação do campo em w é pequena).
Esse \Delta V aparece aplicada ao corpo do nadador; a corrente que atravessa o corpo é então dada pela lei de Ohm:
O resultado encontrado é I_{\text{corpo}}\approx53{,}2\\ \mathrm{mA}. Para você na prova: esse é o valor que sai diretamente da fórmula e dos números dados. Em termos práticos, correntes nessa faixa já podem ser perigosas para seres humanos — por isso a resposta tem sentido físico e não é só um número estranho.
Se precisar, na prova mostre claramente os passos: (1) expressão do gradiente de potencial para espalhamento hemisférico; (2) aproximação \Delta V\approx |dV/dr|\,w; (3) aplicação de I=\Delta V/R para o corpo; (4) substituição numérica.