Enunciado: Um raio de corrente 78 kA atinge a água. Um nadador está a 35,0 \mathrm{~m} do ponto de impacto; a água tem resistividade 30 \Omega \cdot \mathrm{~m}. A largura efetiva do corpo na direção radial é 0,70 \mathrm{~m} e a resistência corporal nessa direção é 4,00 \mathrm{k} \Omega. Admitindo espalhamento hemisférico da corrente, determine a corrente que atravessa o corpo do nadador.

Passo 1

O que o problema pede: determinar a corrente que atravessa o corpo do nadador quando um raio de corrente atinge a água e a corrente se espalha hemisfericamente.
Dados fornecidos (já convertidos para unidades SI quando necessário):
  • Corrente total lançada no ponto de impacto: I_{\text{total}} = 78{,}0\\ \text{kA} = 78{,}0\times10^{3}\\ \mathrm{A}.
  • Distância radial do nadador ao ponto de impacto: r = 35{,}0\\ \mathrm{m}.
  • Resistividade da água: \rho = 30\\ \Omega\cdot\mathrm{m}.
  • Largura efetiva do corpo na direção radial: w = 0{,}70\\ \mathrm{m}.
  • Resistência interna do corpo nessa direção: R_{\text{corpo}} = 4{,}00\\ \text{k}\Omega = 4{,}00\times10^{3}\\ \Omega.
Observação do enunciado: assumir espalhamento hemisférico da corrente (isto é, a corrente se distribui sobre a superfície de uma hemisfera de raio r).

Passo 2

Modelo físico e conceitos básicos (explicação didática):
  • Quando a corrente I_{\text{total}} sai do ponto de impacto e se espalha de maneira aproximadamente hemisférica, ela atravessa a superfície de uma hemisfera de raio r. A área dessa superfície é
A_{\text{hemi}} = 2\pi r^{2}.
  • Densidade de corrente superficial (na direção radial) é a corrente por unidade de área. Se a corrente se distribui uniformemente sobre a hemisfera,
j(r) = \frac{I_{\text{total}}}{A_{\text{hemi}}} = \frac{I_{\text{total}}}{2\pi r^{2}}.
Aqui j(r) tem unidades de \mathrm{A/m^{2}}.
  • A relação entre densidade de corrente j, campo elétrico E e condutividade \sigma é j=\sigma E. A condutividade é o inverso da resistividade: \sigma = 1/\rho.
  • Para condução radial em 3D, a corrente total também satisfaz I_{\text{total}} = \sigma A_{\text{hemi}} \,(-\,dV/dr), o que leva à expressão do gradiente de potencial radial:
\frac{dV}{dr} = -\frac{I_{\text{total}}\rho}{2\pi r^{2}}.
Isto significa que a taxa de variação do potencial com a distância (a “inclinação” do potencial) é proporcional a I_{\text{total}}\rho e decai como 1/r^{2}.

Passo 3

Estimativa da diferença de potencial ao longo da largura do corpo e relação com a corrente no corpo:
  • A diferença de potencial entre dois pontos separados radialmente por uma pequena largura w (por exemplo, entre a frente e as costas do nadador, medidos na direção radial) pode ser aproximada por
\Delta V \approx \left|\frac{dV}{dr}\right| w = \frac{I_{\text{total}}\rho}{2\pi r^{2}}\,w.
Explicando: usamos a aproximação de primeira ordem \Delta V \approx |dV/dr|\cdot w válida quando w\ll r (a variação do campo em w é pequena).
  • Esse \Delta V aparece aplicada ao corpo do nadador; a corrente que atravessa o corpo é então dada pela lei de Ohm:
I_{\text{corpo}} = \frac{\Delta V}{R_{\text{corpo}}}.
  • Substituindo \Delta V obtemos a fórmula final útil:
\boxed{\,I_{\text{corpo}} = \frac{I_{\text{total}}\,\rho\,w}{2\pi r^{2}\,R_{\text{corpo}}}\,}
Nessa fórmula cada símbolo significa:
  • I_{\text{corpo}}: corrente que passa pelo corpo (A);
  • I_{\text{total}}: corrente lançada na água (A);
  • \rho: resistividade do meio (Ω·m);
  • w: separação radial efetiva através do corpo (m);
  • r: distância radial até o ponto de impacto (m);
  • R_{\text{corpo}}: resistência elétrica do corpo entre os pontos separados por w (Ω).

Passo 4

Substituição dos valores numéricos e cálculo passo a passo:
  • Primeiro calcule \rho\,w:
\rho\,w = 30\\ \Omega\cdot\mathrm{m}\times 0{,}70\\ \mathrm{m} = 21\\ \Omega\cdot\mathrm{m}^{2}.
  • Calcule r^{2}:
r^{2} = (35{,}0\\ \mathrm{m})^{2} = 1225\\ \mathrm{m}^{2}.
  • Calcule 2\pi r^{2}:
2\pi r^{2} = 2\pi\times1225 = 2450\pi \approx 2450\times3{,}14159265 \approx 7696{,}5\\ \mathrm{m}^{2}.
  • Multiplique por R_{\text{corpo}}:
2\pi r^{2} R_{\text{corpo}} \approx 7696{,}5\\ \mathrm{m}^{2}\times 4{,}00\times10^{3}\\ \Omega = 3{,}0787608\times10^{7}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}^{2}.
  • Agora calcule o numerador completo I_{\text{total}}\,\rho\,w:
I_{\text{total}}\,\rho\,w = 78{,}0\times10^{3}\\ \mathrm{A}\times 21\\ \Omega\cdot\mathrm{m}^{2} = 1{,}638\times10^{6}\\ \mathrm{A}\cdot\Omega\cdot\mathrm{m}^{2}.
  • Finalmente,
I_{\text{corpo}} = \frac{1{,}638\times10^{6}}{3{,}0787608\times10^{7}}\\ \mathrm{A} \approx 5{,}322\times10^{-2}\\ \mathrm{A}.
  • Em unidades mais intuitivas,
I_{\text{corpo}} \approx 0{,}05322\\ \mathrm{A} = 53{,}22\\ \mathrm{mA}.

Passo 5

Interpretação rápida e comentário (motivador):
  • O resultado encontrado é I_{\text{corpo}}\approx53{,}2\\ \mathrm{mA}. Para você na prova: esse é o valor que sai diretamente da fórmula e dos números dados. Em termos práticos, correntes nessa faixa já podem ser perigosas para seres humanos — por isso a resposta tem sentido físico e não é só um número estranho.
  • Se precisar, na prova mostre claramente os passos: (1) expressão do gradiente de potencial para espalhamento hemisférico; (2) aproximação \Delta V\approx |dV/dr|\,w; (3) aplicação de I=\Delta V/R para o corpo; (4) substituição numérica.

Resposta

I_{\text{corpo}} \approx 5{,}322\times10^{-2}\\ \mathrm{A} \approx 53{,}2\\ \mathrm{mA}

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