Enuncie critério de convergência para séries alternadas. (0,5 \mathrm{pt})

Passo 1

O enunciado pede que a gente apresente o critério de convergência para séries alternadas, ou seja, séries da forma
\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}a_n
no contexto de séries numéricas, usando o teste de Leibniz.

Passo 2

Chamamos de série alternada aquela em que os sinais dos termos se alternam, isto é, a_n>0 para todo n e o n-ésimo termo é (-1)^{n-1}a_n. Para aplicar o critério de Leibniz precisamos verificar duas coisas sobre a sequência (a_n):
  1. (a_n) é monótona decrescente a partir de algum índice, ou seja, existe N tal que para todo n\ge N vale a_{n+1}\le a_n.
  2. \lim_{n\to\infty}a_n=0.

Passo 3

Se as duas condições acima forem satisfeitas, então a série alternada
\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}a_n
converge.

Resposta

O critério de Leibniz (ou teste da série alternada) afirma que, para a série
\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}a_n
com a_n>0, se a_n é monotonicamente decrescente (a partir de algum N) e \lim_{n\to\infty}a_n=0, então a série converge.

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