Calcule.
\int\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x^{2}}+\sqrt[3]{x^{2}}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int\Bigl(\frac{1}{x}-\frac{1}{x^{2}}+\sqrt[3]{x^{2}}\Bigr)\,dx.
Isso envolve três termos: \tfrac1x, -x^{-2} e x^{2/3}. Para resolver, vamos usar as regras
  1. \displaystyle\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C (para n\neq -1),
  2. \displaystyle\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C.

Passo 2

Separamos a integral em três partes lineares:
\int\frac{1}{x}\,dx \;-\;\int x^{-2}\,dx \;+\;\int x^{2/3}\,dx.

Passo 3

Para \displaystyle\int\frac{1}{x}\,dx, aplicamos a regra especial n=-1:
\int\frac{1}{x}\,dx = \ln\lvert x\rvert.

Passo 4

Para \displaystyle\int x^{-2}\,dx, usamos \int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} com n=-2:
\int x^{-2}\,dx = \frac{x^{-1}}{-1} = -\,x^{-1}.
Como no integrando tínhamos um sinal negativo à frente, isto é -\int x^{-2}\,dx, obtemos
-\bigl(-x^{-1}\bigr) = x^{-1}.

Passo 5

Para \displaystyle\int x^{2/3}\,dx, aplicamos a mesma fórmula com n=\tfrac{2}{3}:
\int x^{2/3}\,dx = \frac{x^{2/3 + 1}}{\tfrac{2}{3}+1} = \frac{x^{5/3}}{\tfrac{5}{3}} = \frac{3}{5}\,x^{5/3}.

Resposta

\int\Bigl(\frac{1}{x}-\frac{1}{x^{2}}+\sqrt[3]{x^{2}}\Bigr)\,dx = \ln\lvert x\rvert + x^{-1} + \frac{3}{5}\,x^{5/3} + C.

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